GSO004 Problem 7

この問題は、不均一な磁場空間における超伝導リングの磁束保存と、それに伴うローレンツ力による単振動を解析する問題です。いわゆる「磁気スプリング」のモデルとなります。

1. 中心軸上の磁場と原点付近での近似

まず、ビオ・サバールの法則を用いて、コイルA, Bが $z$z 軸上の点 $z$z に作る磁束密度 $B_z(z)$Bz​(z) を求めます。 半径 $a$a、電流 $I$I の円電流が中心軸上の距離 $r$r 離れた点に作る磁場は $\frac{\mu_0 I a^2}{2(a^2+r^2)^{3/2}}$2(a2+r2)3/2μ0​Ia2​ と表されます。 コイルAは $z=d$z=d にあり、$I_0$I0​ が反時計回り（$+z$+z 方向の磁場を作る）に流れています。 コイルBは $z=-d$z=−d にあり、$I_0$I0​ が時計回り（$-z$−z 方向の磁場を作る）に流れています。 したがって、合成磁場の $z$z 成分 $B_z(z)$Bz​(z) は次のように立式できます。

$$B_z(z) = \frac{\mu_0 I_0 a^2}{2} \left[ \frac{1}{(a^2 + (z-d)^2)^{3/2}} - \frac{1}{(a^2 + (z+d)^2)^{3/2}} \right]$$Bz​(z)=2μ0​I0​a2​[(a2+(z−d)2)3/21​−(a2+(z+d)2)3/21​]

原点付近での微小振動を考えるため、$|z| \ll d$∣z∣≪d として $z$z の1次まで近似（テーラー展開）します。

$$(a^2 + (z \mp d)^2)^{-3/2} = (a^2 + d^2 \mp 2dz + z^2)^{-3/2} \approx (a^2 + d^2)^{-3/2} \left( 1 \mp \frac{2dz}{a^2+d^2} \right)^{-3/2}$$(a2+(z∓d)2)−3/2=(a2+d2∓2dz+z2)−3/2≈(a2+d2)−3/2(1∓a2+d22dz​)−3/2

ここで $(1+x)^n \approx 1+nx$(1+x)n≈1+nx の近似を用いると、

$$\approx (a^2 + d^2)^{-3/2} \left( 1 \pm \frac{3dz}{a^2+d^2} \right)$$≈(a2+d2)−3/2(1±a2+d23dz​)

これを $B_z(z)$Bz​(z) の式に代入します。

$$B_z(z) \approx \frac{\mu_0 I_0 a^2}{2 (a^2+d^2)^{3/2}} \left[ \left( 1 + \frac{3dz}{a^2+d^2} \right) - \left( 1 - \frac{3dz}{a^2+d^2} \right) \right] = \frac{3 \mu_0 I_0 a^2 d}{(a^2 + d^2)^{5/2}} z$$Bz​(z)≈2(a2+d2)3/2μ0​I0​a2​[(1+a2+d23dz​)−(1−a2+d23dz​)]=(a2+d2)5/23μ0​I0​a2d​z

この比例定数を $K$K とおくと、$B_z(z) \approx K z$Bz​(z)≈Kz と表せます。

2. 磁束保存則と誘導電流

超伝導コイルCの電気抵抗は $0$0 であるため、コイルCを貫く全磁束 $\Phi$Φ は時間的に一定に保たれます（磁束保存則）。 外部磁束 $\Phi_{ext}(z)$Φext​(z) は、コイルCが十分小さいことから $\Phi_{ext}(z) \approx \pi b^2 B_z(z) \approx \pi b^2 K z$Φext​(z)≈πb2Bz​(z)≈πb2Kz となります。 全磁束は外部磁束と自己誘導による磁束の和で表されます。

$$\Phi = \Phi_{ext}(z) + L i(z)$$Φ=Φext​(z)+Li(z)

初期状態 $z=0$z=0 において、$\Phi_{ext}(0) = 0$Φext​(0)=0 かつ $i(0) = 0$i(0)=0 であるため、全磁束は常に $0$0 です。

$$\pi b^2 K z + L i(z) = 0 \implies i(z) = - \frac{\pi b^2 K}{L} z$$πb2Kz+Li(z)=0⟹i(z)=−Lπb2K​z

3. コイルCが受ける電磁力（復元力）

コイルCが受ける $z$z 方向の力 $F_z$Fz​ を求めます。コイルCの位置における磁束密度の動径成分 $B_r$Br​ を評価する必要があります。 マクスウェル方程式の $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$∇⋅B=0 を円柱座標系で適用します。対称性から $B_z$Bz​ は $r$r にあまり依存しないとすると、

$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r B_r) + \frac{\partial B_z}{\partial z} \approx 0$$r1​∂r∂​(rBr​)+∂z∂Bz​​≈0

積分することで、コイルCの半径 $r=b$r=b における動径成分 $B_r(b)$Br​(b) が求まります。

$$r B_r \approx - \int r \frac{\partial B_z}{\partial z} dr = - \frac{r^2}{2} \frac{\partial B_z}{\partial z} \implies B_r(b) \approx - \frac{b}{2} \frac{\partial B_z}{\partial z}$$rBr​≈−∫r∂z∂Bz​​dr=−2r2​∂z∂Bz​​⟹Br​(b)≈−2b​∂z∂Bz​​

ここで $\frac{\partial B_z}{\partial z} \approx K$∂z∂Bz​​≈K であるため、$B_r(b) \approx - \frac{b}{2} K$Br​(b)≈−2b​K となります。 微小部分 $d\mathbf{l}$dl が受けるローレンツ力 $d\mathbf{F} = i d\mathbf{l} \times \mathbf{B}$dF=idl×B の $z$z 成分を全周で積分します。電流の正の向きは $\theta$θ 方向であり、$\hat{\theta} \times \hat{r} = -\hat{z}$θ^×r^=−z^ の関係に注意すると、

$$F_z = \oint i (dl) B_r (-1) = - i (2\pi b) B_r = - i (2\pi b) \left( - \frac{b}{2} K \right) = \pi b^2 K i$$Fz​=∮i(dl)Br​(−1)=−i(2πb)Br​=−i(2πb)(−2b​K)=πb2Ki

これにステップ2で求めた $i(z) = - \frac{\pi b^2 K}{L} z$i(z)=−Lπb2K​z を代入します。

$$F_z = - \frac{(\pi b^2 K)^2}{L} z$$Fz​=−L(πb2K)2​z

これは $z$z に比例する負の力であり、明らかな復元力です。実効的なばね定数を $k_{eff} = \frac{(\pi b^2 K)^2}{L}$keff​=L(πb2K)2​ とおくと、単振動の角振動数 $\omega$ω は $\omega = \sqrt{\frac{k_{eff}}{m}} = \frac{\pi b^2 K}{\sqrt{mL}}$ω=mkeff​​​=mL​πb2K​ となります。

4. 数値計算

与えられた数値を代入して $K$K を計算します。 $a^2 = (0.04)^2 = 1.6 \times 10^{-3}$a2=(0.04)2=1.6×10−3 $d^2 = (0.03)^2 = 0.9 \times 10^{-3}$d2=(0.03)2=0.9×10−3 $a^2+d^2 = 2.5 \times 10^{-3}$a2+d2=2.5×10−3 $(a^2+d^2)^{5/2} = (2.5 \times 10^{-3})^{5/2} = 3.125 \times 10^{-7}$(a2+d2)5/2=(2.5×10−3)5/2=3.125×10−7

$$K = \frac{3 (4\pi \times 10^{-7}) (10) (1.6 \times 10^{-3}) (0.03)}{3.125 \times 10^{-7}} = \frac{57.6\pi \times 10^{-11}}{3.125 \times 10^{-7}} = 18.432\pi \times 10^{-4}$$K=3.125×10−73(4π×10−7)(10)(1.6×10−3)(0.03)​=3.125×10−757.6π×10−11​=18.432π×10−4

次に $\pi b^2 K$πb2K を計算します。$b^2 = (0.005)^2 = 2.5 \times 10^{-5}$b2=(0.005)2=2.5×10−5 より、

$$\pi b^2 K = \pi (2.5 \times 10^{-5}) (18.432\pi \times 10^{-4}) = 46.08\pi^2 \times 10^{-9}$$πb2K=π(2.5×10−5)(18.432π×10−4)=46.08π2×10−9

実効ばね定数 $k_{eff}$keff​ は、

$$k_{eff} = \frac{(46.08\pi^2 \times 10^{-9})^2}{3 \times 10^{-7}} = \frac{2123.3664\pi^4 \times 10^{-18}}{3 \times 10^{-7}} = 707.7888\pi^4 \times 10^{-11}$$keff​=3×10−7(46.08π2×10−9)2​=3×10−72123.3664π4×10−18​=707.7888π4×10−11

角振動数 $\omega$ω は、

$$\omega = \sqrt{ \frac{707.7888\pi^4 \times 10^{-11}}{(4/3) \times 10^{-3}} } = \sqrt{ 530.8416\pi^4 \times 10^{-8} }$$ω=(4/3)×10−3707.7888π4×10−11​​=530.8416π4×10−8​

ここで $\sqrt{530.8416} = 23.04$530.8416​=23.04 と綺麗に平方根が外れます。

$$\omega = 23.04\pi^2 \times 10^{-4} = 2.304\pi^2 \times 10^{-3} \text{ [rad/s]}$$ω=23.04π2×10−4=2.304π2×10−3 [rad/s]

最後に周期 $T$T を求めます。

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2.304\pi^2 \times 10^{-3}} = \frac{2000}{2.304\pi} = \frac{2000000}{2304\pi}$$T=ω2π​=2.304π2×10−32π​=2.304π2000​=2304π2000000​

分数 $\frac{2000000}{2304}$23042000000​ を約分します。 $2000000 = 2^7 \times 5^6$2000000=27×56 、 $2304 = 2^8 \times 3^2$2304=28×32 より、最大公約数は $2^7 = 128$27=128 です。

$$\frac{2000000 \div 128}{2304 \div 128} = \frac{15625}{18}$$2304÷1282000000÷128​=1815625​

したがって、周期 $T$T は以下のように表されます。

$$T = \frac{15625}{18 \pi} \text{ [s]}$$T=18π15625​ [s]

$A = 15625$A=15625、 $B = 18$B=18 であり、これらは互いに素です。 求める値は $A+B = 15625 + 18 = 15643$A+B=15625+18=15643 となります。