GSO004 Problem 6

1. 座標系の設定と運動量保存則

水平右向きを正の方向とする。初期状態では系全体が静止しているため、水平方向の全運動量は $0$0 である。 鉄球が最下点を通過する瞬間の、床から見たクレーン車の速度を $V$V、鉄球の速度を $v$v とする。 水平方向には系に対する外力が働かない（レールからの垂直抗力と重力は鉛直方向のみ）ため、水平方向の運動量保存則が成り立つ。

$$M V + m v = 0$$MV+mv=0

これを $V$V について解くと、以下のようになる。

$$V = - \frac{m}{M} v$$V=−Mm​v

2. 力学的エネルギー保存則

初期状態（鉄球が点 O と同じ高さ）から最下点まで、鉄球は鉛直下方に $l$l だけ移動する。 この間に重力がした仕事は $mgl$mgl であり、これが系全体の運動エネルギーに変換される。 したがって、力学的エネルギー保存則より以下の式が成り立つ。

$$mgl = \frac{1}{2} M V^2 + \frac{1}{2} m v^2$$mgl=21​MV2+21​mv2

これに先ほどの $V$V の式を代入し、$v$v を求める。

$$mgl = \frac{1}{2} M \left( - \frac{m}{M} v \right)^2 + \frac{1}{2} m v^2$$mgl=21​M(−Mm​v)2+21​mv2 $$mgl = \frac{1}{2} m v^2 \left( \frac{m}{M} + 1 \right) = \frac{1}{2} m v^2 \frac{M+m}{M}$$mgl=21​mv2(Mm​+1)=21​mv2MM+m​

よって、最下点における鉄球の床に対する速さの2乗 $v^2$v2 は次のように求まる。

$$v^2 = \frac{2Mgl}{M+m}$$v2=M+m2Mgl​

3. 最下点におけるクレーン車の加速度

張力 $T$T を求めるために、クレーン車に固定された座標系（非慣性系）から鉄球の運動を観測する。 最下点において、ワイヤーは鉛直方向を向いている。したがって、鉄球がワイヤーを引く力（張力の反作用）も鉛直方向のみに働き、クレーン車に対して水平方向の力は一切作用しない。 クレーン車には水平方向の外力が働かないため、最下点を通過する瞬間、クレーン車の水平方向の加速度 $A$A は $0$0 となる。 加速度が $0$0 であるため、この瞬間に限り、クレーン車に固定された座標系は慣性系と同等に扱うことができ、慣性力を考慮する必要がない。

4. 張力 $T$T の導出

クレーン車から見た鉄球の相対速度 $u$u を求める。

$$u = v - V = v - \left( - \frac{m}{M} v \right) = v \left( 1 + \frac{m}{M} \right) = v \frac{M+m}{M}$$u=v−V=v−(−Mm​v)=v(1+Mm​)=vMM+m​

クレーン車から見ると、鉄球は半径 $l$l、最下点での速さ $u$u の円運動を行っているように見える。 最下点における鉄球の運動方程式（円運動の向心力）は、張力 $T$T を用いて次のように立式できる。

$$T - mg = m \frac{u^2}{l}$$T−mg=mlu2​

ここで、$u^2$u2 を計算する。

$$u^2 = v^2 \left( \frac{M+m}{M} \right)^2 = \frac{2Mgl}{M+m} \cdot \frac{(M+m)^2}{M^2} = \frac{2(M+m)gl}{M}$$u2=v2(MM+m​)2=M+m2Mgl​⋅M2(M+m)2​=M2(M+m)gl​

これを運動方程式に代入する。

$$T = mg + m \frac{1}{l} \cdot \frac{2(M+m)gl}{M} = mg + m \frac{2(M+m)g}{M}$$T=mg+ml1​⋅M2(M+m)gl​=mg+mM2(M+m)g​ $$T = mg \left( 1 + \frac{2M+2m}{M} \right) = mg \left( \frac{M + 2M + 2m}{M} \right) = mg \frac{3M + 2m}{M}$$T=mg(1+M2M+2m​)=mg(MM+2M+2m​)=mgM3M+2m​

特筆すべき点として、ワイヤーの長さ $l$l が約分によって消去され、張力 $T$T は $l$l に依存しないことがわかる。

5. 数値計算

得られた文字式に、制約の数値を代入する。 $M = 15500$M=15500、$m = 2450$m=2450、$g = 9.80$g=9.80

$$T = 2450 \times 9.80 \times \frac{3 \times 15500 + 2 \times 2450}{15500}$$T=2450×9.80×155003×15500+2×2450​ $$T = 24010 \times \frac{46500 + 4900}{15500} = 24010 \times \frac{51400}{15500} = 24010 \times \frac{514}{155}$$T=24010×1550046500+4900​=24010×1550051400​=24010×155514​

ここで、分数部分を約分する。分母 $155$155 と $24010$24010 は共に $5$5 の倍数である。

$$155 \div 5 = 31$$155÷5=31 $$24010 \div 5 = 4802$$24010÷5=4802

したがって、

$$T = 4802 \times \frac{514}{31} = \frac{2468228}{31}$$T=4802×31514​=312468228​

分母の $31$31 は素数である。分子 $2468228$2468228 を $31$31 で割ると $79620.258...$79620.258... となり割り切れないため、これ以上約分することはできない。 よって、既約分数 $\frac{A}{B}$BA​ は $\frac{2468228}{31}$312468228​ となる。

求める答えは $A + B$A+B であるため、

$$A + B = 2468228 + 31 = 2468259$$A+B=2468228+31=2468259

最終解答： 2468259