GSO004 Problem 5

1. 電流を流す前の力の釣り合い

まず、電流を流す前の状態を考えます。導体棒Bにはたらく力は、下向きの重力 $mg$mg と、ばねの伸び $\Delta l$Δl による上向きの弾性力 $K \Delta l$KΔl です。 Bは静止しているため、以下の力の釣り合いの式が成り立ちます。 $K \Delta l = mg$KΔl=mg これより、ばね定数 $K$K は以下のように表されます。 $K = \frac{mg}{\Delta l}$K=Δlmg​

2. 電流 $I$I を流したときの力の釣り合い

次に、電流 $I$I を流したとき、Bが釣り合いを保って静止している状態を考えます。このときのAとBの距離を $x$x （$0 < x < d$0<x<d）とします。

電流が $0$0 のときのAとBの距離は $d$d であり、このときばねは $\Delta l$Δl だけ伸びていました。 距離が $x$x に減少したということは、Bは下方に $d - x$d−x だけ移動したことになります。したがって、このときのばね全体の伸びは $\Delta l + (d - x)$Δl+(d−x) となります。 ばねによる上向きの弾性力 $F_k$Fk​ は次のようになります。 $F_k = K \{ \Delta l + (d - x) \}$Fk​=K{Δl+(d−x)}

また、平行な導線に同じ向きの電流 $I$I が流れるとき、導線間には引力（アンペール力）がはたらきます。距離 $x$x だけ離れた長さ $L$L の平行導線間にはたらく力の大きさ $F_m$Fm​ は、以下の式で与えられます。 $F_m = \frac{\mu_0 I^2 L}{2\pi x}$Fm​=2πxμ0​I2L​ この力は引力であるため、Bには下向きにはたらきます。

Bにはたらく力の釣り合いの式（上向きを正）を立てると、 $K \{ \Delta l + (d - x) \} - mg - \frac{\mu_0 I^2 L}{2\pi x} = 0$K{Δl+(d−x)}−mg−2πxμ0​I2L​=0 ここで、初期状態の釣り合いの式 $K \Delta l = mg$KΔl=mg を用いると、重力の項と初期のばねの弾性力が相殺され、次のように極めてシンプルな関係式が得られます。 $K (d - x) - \frac{\mu_0 I^2 L}{2\pi x} = 0$K(d−x)−2πxμ0​I2L​=0 両辺に $x$x をかけて整理すると、$x$x についての二次方程式が得られます。 $K x^2 - K d x + \frac{\mu_0 I^2 L}{2\pi} = 0$Kx2−Kdx+2πμ0​I2L​=0

3. 臨界電流 $I_c$Ic​ の導出

Bが釣り合いの位置を保って静止できるためには、上記の二次方程式が実数解 $x$x を持つ必要があります。 二次方程式の判別式を $D$D とすると、実数解を持つための条件は $D \ge 0$D≥0 です。 $D = (-Kd)^2 - 4 \cdot K \cdot \frac{\mu_0 I^2 L}{2\pi} \ge 0$D=(−Kd)2−4⋅K⋅2πμ0​I2L​≥0 $K^2 d^2 - \frac{2 \mu_0 I^2 L K}{\pi} \ge 0$K2d2−π2μ0​I2LK​≥0 $K > 0$K>0 であるため、両辺を $K$K で割り、$I^2$I2 について解くと、 $I^2 \le \frac{\pi K d^2}{2 \mu_0 L}$I2≤2μ0​LπKd2​ この不等式を満たす最大の電流値が、釣り合いを保てる限界である臨界電流 $I_c$Ic​ となります。したがって、 $I_c = d \sqrt{\frac{\pi K}{2 \mu_0 L}}$Ic​=d2μ0​LπK​​ となります。（なお、このとき $D=0$D=0 であり、$x = \frac{d}{2}$x=2d​ となります。つまり、最初の距離の半分の位置を超えると静止できずに吸着します。）

4. 数値の計算

求めた $K = \frac{mg}{\Delta l}$K=Δlmg​ を $I_c$Ic​ の式に代入します。 $I_c = d \sqrt{\frac{\pi m g}{2 \mu_0 L \Delta l}}$Ic​=d2μ0​LΔlπmg​​ 与えられた制約の数値を代入します。

• $L = 2.0 \text{ m}$L=2.0 m
• $m = 0.40 \text{ kg}$m=0.40 kg
• $d = 0.0145 \text{ m}$d=0.0145 m
• $\Delta l = 0.0245 \text{ m}$Δl=0.0245 m
• $g = 9.8 \text{ m/s}^2$g=9.8 m/s2
• $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ N/A}^2$μ0​=4π×10−7 N/A2

まず、根号の中身を計算します。 $\frac{\pi m g}{2 \mu_0 L \Delta l} = \frac{\pi \times 0.40 \times 9.8}{2 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 2.0 \times 0.0245}$2μ0​LΔlπmg​=2×(4π×10−7)×2.0×0.0245π×0.40×9.8​ 分子の $\pi$π と分母の $\pi$π は約分されます。 $= \frac{0.40 \times 9.8}{2 \times 4 \times 10^{-7} \times 2.0 \times 0.0245} = \frac{3.92}{16 \times 10^{-7} \times 0.0245}$=2×4×10−7×2.0×0.02450.40×9.8​=16×10−7×0.02453.92​ 分母の数値部分 $16 \times 0.0245$16×0.0245 を計算します。 $16 \times 0.0245 = 16 \times \frac{245}{10000} = \frac{3920}{10000} = 0.392$16×0.0245=16×10000245​=100003920​=0.392 これを用いて式を整理すると、 $= \frac{3.92}{0.392 \times 10^{-7}} = \frac{10}{10^{-7}} = 10^8$=0.392×10−73.92​=10−710​=108

これを $I_c$Ic​ の式に戻して平方根をとります。 $I_c = 0.0145 \times \sqrt{10^8} = 0.0145 \times 10000 = 145 \text{ A}$Ic​=0.0145×108​=0.0145×10000=145 A よって、求める臨界電流は $145 \text{ A}$145 A となります。

最終的な回答は、単位を除いた自然数となるため「145」です。