GSO004 Problem 4

1. うなりと振動数の大小関係の決定

2つの音源から発せられる音波の振動数をそれぞれ $f, f_0$f,f0​ としたとき、1秒間に生じるうなりの回数 $n$n は、両者の振動数の差の絶対値に等しくなります。

$$n = |f - f_0|$$n=∣f−f0​∣

したがって、最初の弦の振動数 $f$f は、$f = f_0 + n$f=f0​+n または $f = f_0 - n$f=f0​−n のいずれかになります。 ここで、弦の張力をわずかに増加させた際の現象から、どちらの符号が正しいかを論理的に決定します。

弦を伝わる横波の速さ $v$v は $v = \sqrt{\frac{S}{\rho}}$v=ρS​​ であり、張力 $S$S が増加すると波の速さ $v$v も増加します。 波の基本式 $v = f\lambda$v=fλ を変形すると、$f = \frac{v}{\lambda}$f=λv​ となります。 弦の基本振動における波長 $\lambda$λ は弦の長さ $L$L のみによって決まり（後述）、張力を変えても一定です。したがって、波の速さ $v$v が増加すると、それに比例して弦の振動数 $f$f も増加します。

問題文より、張力を増加させて振動数 $f$f が大きくなった結果、うなりの回数 $n$n が減少しました。 うなりが減少するということは、弦の振動数 $f$f が基準となる音叉の振動数 $f_0$f0​ に近づいたことを意味します。 増加して $f_0$f0​ に近づくためには、元の振動数 $f$f は $f_0$f0​ よりも小さくなければなりません。 よって、最初の弦の振動数 $f$f は以下の通り確定します。

$$f = f_0 - n$$f=f0​−n

具体的な数値を代入すると、

$$f = 440 - 5 = 435 \ \mathrm{Hz}$$f=440−5=435 Hz

となります。

2. 定常波の波長と波の基本式

両端が固定された弦における基本振動は、両端が節、中央が腹となる定常波です。 このとき、弦の長さ $L$L の中に半波長（$\frac{\lambda}{2}$2λ​）が1つだけ含まれるため、以下の関係が成り立ちます。

$$L = \frac{\lambda}{2} \implies \lambda = 2L$$L=2λ​⟹λ=2L

波の基本式 $v = f\lambda$v=fλ は、波が空間を進む速さ $v$v、空間的な周期である波長 $\lambda$λ、時間的な周期の逆数である振動数 $f$f を結びつける根幹の法則です。 これを今回の弦の振動に適用すると、弦を伝わる波の速さ $v$v は次のように表されます。

$$v = f \times 2L = 2Lf$$v=f×2L=2Lf

3. 張力の導出と計算

問題文で与えられた弦を伝わる横波の速さの公式 $v = \sqrt{\frac{S}{\rho}}$v=ρS​​ と、ステップ2で導出した $v = 2Lf$v=2Lf を等置します。

$$\sqrt{\frac{S}{\rho}} = 2Lf$$ρS​​=2Lf

両辺を2乗して、張力 $S$S について解きます。

$$\frac{S}{\rho} = 4L^2f^2$$ρS​=4L2f2 $$S = 4\rho L^2f^2$$S=4ρL2f2

この式に、各変数の具体的な数値を代入して計算します。

• $L = 0.50 \ \mathrm{m}$L=0.50 m より、$L^2 = 0.25 \ \mathrm{m^2}$L2=0.25 m2
• $\rho = 2.0 \times 10^{-3} \ \mathrm{kg/m}$ρ=2.0×10−3 kg/m
• $f = 435 \ \mathrm{Hz}$f=435 Hz より、$f^2 = 435^2 = 189225 \ \mathrm{Hz^2}$f2=4352=189225 Hz2

$$S = 4 \times (2.0 \times 10^{-3}) \times 0.25 \times 189225$$S=4×(2.0×10−3)×0.25×189225

計算を工夫すると、$4 \times 0.25 = 1$4×0.25=1 となるため、

$$S = (2.0 \times 10^{-3}) \times 189225 = 0.002 \times 189225 = 378.45 \ \mathrm{N}$$S=(2.0×10−3)×189225=0.002×189225=378.45 N

となります。

問題の指示に従い、得られた張力 $S$S の値を $100$100 倍します。

$$378.45 \times 100 = 37845$$378.45×100=37845

これが最終的な解答となる自然数です。