GSO004 Problem 3

生体力学におけるテコの原理

人間の骨格と筋肉の構造は、物理学における「テコ」としてモデル化することができます。 本問では、肘関節を支点とし、前腕を水平な剛体の棒として扱うことで、筋肉が発揮すべき力を力のモーメントのつりあいから導き出します。 特筆すべき点は、筋肉の付着点（力点）が支点から非常に近い位置にあるという人体の構造的特徴です。

剛体にはたらく力の整理

前腕（剛体棒）にはたらく力を整理し、それぞれの作用点と向きを確認します。 問題文の指定通り、作用点はすべて支点 $O$O から手首に向かって一直線上に配置されています。

1. 前腕自身の重力: 質量 $M$M の一様な棒であるため、その重心は支点 $O$O から $L/2$L/2 の位置にあります。はたらく力は鉛直下向きで、大きさは $Mg$Mg です。
2. おもりからの力: 手首の位置（支点 $O$O から距離 $L$L）に質量 $m$m のおもりがあるため、鉛直下向きに $mg$mg の力がはたらきます。
3. 上腕二頭筋の張力: 支点 $O$O から距離 $d$d の位置で、鉛直上向きに張力 $T$T がはたらいています。
4. 肘関節からの抗力: 支点 $O$O において、前腕を支えるために未知の抗力がはたらいていますが、今回は支点 $O$O のまわりの力のモーメントを考えるため、うでの長さが $0$0 となり、モーメントの式には現れません。

力のモーメントのつりあいの立式

反時計回りを正として、支点 $O$O のまわりの力のモーメントの和が $0$0 になるというつりあいの式（$\sum M_O = 0$∑MO​=0）を立てます。

• 反時計回りのモーメント（上腕二頭筋の張力によるもの）:

  $$M_{\text{ccw}} = T \cdot d$$Mccw​=T⋅d

• 時計回りのモーメント（前腕の重力とおもりの重力によるもの）:

  $$M_{\text{cw}} = Mg \cdot \frac{L}{2} + mg \cdot L$$Mcw​=Mg⋅2L​+mg⋅L

剛体は静止しているため、反時計回りのモーメントと時計回りのモーメントの大きさは等しくなります。

$$T \cdot d = Mg\frac{L}{2} + mgL$$T⋅d=Mg2L​+mgL

張力 $T$T の導出と計算

上の式を張力 $T$T について解きます。両辺を $d$d で割ると、以下のようになります。

$$T = \frac{gL}{d} \left( \frac{M}{2} + m \right)$$T=dgL​(2M​+m)

この式に、与えられた制約の数値を代入します。

• $L = 0.30\text{ m}$L=0.30 m
• $M = 1.5\text{ kg}$M=1.5 kg
• $m = 5.0\text{ kg}$m=5.0 kg
• $d = 0.050\text{ m}$d=0.050 m
• $g = 9.8\text{ m/s}^2$g=9.8 m/s2

$$\begin{aligned} T &= \frac{9.8 \times 0.30}{0.050} \left( \frac{1.5}{2} + 5.0 \right) \\ &= 9.8 \times 6.0 \times (0.75 + 5.0) \\ &= 58.8 \times 5.75 \\ &= 338.1\text{ N} \end{aligned}$$T​=0.0509.8×0.30​(21.5​+5.0)=9.8×6.0×(0.75+5.0)=58.8×5.75=338.1 N​

おもり $5.0\text{ kg}$5.0 kg にはたらく重力は $49\text{ N}$49 N ですが、上腕二頭筋は約 $338\text{ N}$338 N（およそ $34.5\text{ kg}$34.5 kg 重）という、おもりの重力の約 $7$7 倍もの巨大な力を発揮していることがわかります。 これは、筋肉の付着点 $d$d が手の位置 $L$L に比べて圧倒的に短いため、テコの原理において「力」の面では著しく不利な構造になっているからです。 その代わり、筋肉がわずかに収縮するだけで手を素早く大きく動かせるという「変位・速度の拡大」のメリットを得ており、これが動物の機敏な動きを可能にしています。

最終的な解答

求められた張力は $T = 338.1\text{ N}$T=338.1 N です。 入力形式の指示に従い、この値を $10$10 倍して自然数にします。

$$338.1 \times 10 = 3381$$338.1×10=3381

したがって、求める値は $3381$3381 となります。