GSO004 Problem 10

1. 微小光源と特定波数成分による干渉の立式

光源は空間的にインコヒーレントであるため、異なる光源点 $y_s$ys​ から放出された光の間に干渉性はなく、スクリーン上の強度は各光源点からの光の「強度の和」として表されます。同様に、異なる波数 $k$k の成分も干渉しないため、全強度 $I(Y)$I(Y) は $y_s$ys​ と $k$k に関する積分となります。

光源点 $y_s$ys​ から放出され、波数 $k$k を持つ光がスクリーン上の点 $Y$Y に至るまでの2つの経路を考えます。

• 経路1: 光源点 $y_s \to$ys​→ スリット1 ($y_1 = d/2$y1​=d/2) $\to$→ スクリーン点 $Y$Y
• 経路2: 光源点 $y_s \to$ys​→ スリット2 ($y_2 = -d/2$y2​=−d/2) $\to$→ スクリーン点 $Y$Y

それぞれの経路長を $D_1, D_2$D1​,D2​ とすると、近軸近似（2次のテイラー展開）により以下のようになります。

$$D_1 \approx \left[ l + \frac{(d/2 - y_s)^2}{2l} \right] + \left[ L + \frac{(Y - d/2)^2}{2L} \right]$$D1​≈[l+2l(d/2−ys​)2​]+[L+2L(Y−d/2)2​] $$D_2 \approx \left[ l + \frac{(-d/2 - y_s)^2}{2l} \right] + \left[ L + \frac{(Y + d/2)^2}{2L} \right]$$D2​≈[l+2l(−d/2−ys​)2​]+[L+2L(Y+d/2)2​]

これらの経路差 $\delta(y_s, Y) = D_2 - D_1$δ(ys​,Y)=D2​−D1​ を計算します。

$$\frac{(-d/2 - y_s)^2 - (d/2 - y_s)^2}{2l} = \frac{2d y_s}{2l} = \frac{d}{l} y_s$$2l(−d/2−ys​)2−(d/2−ys​)2​=2l2dys​​=ld​ys​ $$\frac{(Y + d/2)^2 - (Y - d/2)^2}{2L} = \frac{2d Y}{2L} = \frac{d}{L} Y$$2L(Y+d/2)2−(Y−d/2)2​=2L2dY​=Ld​Y

したがって、経路差は次のように表されます。

$$\delta(y_s, Y) = d \left( \frac{y_s}{l} + \frac{Y}{L} \right)$$δ(ys​,Y)=d(lys​​+LY​)

この成分がスクリーン上に作る光強度は、位相差 $k\delta$kδ を用いて次のように書けます。

$$dI(Y; y_s, k) \propto I(y_s) S(k) \left[ 1 + \cos(k \delta(y_s, Y)) \right] dy_s dk$$dI(Y;ys​,k)∝I(ys​)S(k)[1+cos(kδ(ys​,Y))]dys​dk

2. 全強度の積分と二重ガウス積分

スクリーン上の全強度 $I(Y)$I(Y) は、すべての $y_s$ys​ と $k$k について積分したものです。

$$I(Y) = \iint I(y_s) S(k) dy_s dk + \iint I(y_s) S(k) \cos(k \delta(y_s, Y)) dy_s dk$$I(Y)=∬I(ys​)S(k)dys​dk+∬I(ys​)S(k)cos(kδ(ys​,Y))dys​dk

第1項は干渉に寄与しない背景強度 $I_{\text{bg}}$Ibg​ であり、一定値となります。問題となるのは第2項の干渉項 $J(Y)$J(Y) です。 見通しを良くするため、$A = \frac{d}{l}$A=ld​、$B = \frac{d Y}{L}$B=LdY​ とおきます。すると $\delta = A y_s + B$δ=Ays​+B となります。 干渉項はオイラーの公式を用いて複素積分の実部として評価します。

$$J(Y) = \text{Re} \left[ \iint I_0 S_0 \exp\left( -\frac{y_s^2}{2\sigma_y^2} - \frac{(k-k_0)^2}{2\sigma_k^2} + i k (A y_s + B) \right) dy_s dk \right]$$J(Y)=Re[∬I0​S0​exp(−2σy2​ys2​​−2σk2​(k−k0​)2​+ik(Ays​+B))dys​dk]

波数 $k$k に関する積分

被積分関数の $k$k に依存する部分を抽出します。

$$\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left( -\frac{1}{2\sigma_k^2} (k-k_0)^2 + i k (A y_s + B) \right) dk$$∫−∞∞​exp(−2σk2​1​(k−k0​)2+ik(Ays​+B))dk

指数部を $k$k について整理し、問題文の公式を適用します。 $p = \frac{1}{2\sigma_k^2}$p=2σk2​1​, $q = \frac{k_0}{\sigma_k^2} + i(A y_s + B)$q=σk2​k0​​+i(Ays​+B), $r = -\frac{k_0^2}{2\sigma_k^2}$r=−2σk2​k02​​ として計算すると、積分結果の指数部 $\frac{q^2}{4p} + r$4pq2​+r は以下のようになります。

$$\frac{q^2}{4p} + r = \frac{1}{2} \sigma_k^2 \left( \frac{k_0}{\sigma_k^2} + i(A y_s + B) \right)^2 - \frac{k_0^2}{2\sigma_k^2} = i k_0 (A y_s + B) - \frac{1}{2} \sigma_k^2 (A y_s + B)^2$$4pq2​+r=21​σk2​(σk2​k0​​+i(Ays​+B))2−2σk2​k02​​=ik0​(Ays​+B)−21​σk2​(Ays​+B)2

これより、$k$k 積分後の干渉項は次の $y_s$ys​ 積分に帰着します。

$$J(Y) \propto \text{Re} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left( -\frac{y_s^2}{2\sigma_y^2} - \frac{1}{2} \sigma_k^2 (A y_s + B)^2 + i k_0 (A y_s + B) \right) dy_s \right]$$J(Y)∝Re[∫−∞∞​exp(−2σy2​ys2​​−21​σk2​(Ays​+B)2+ik0​(Ays​+B))dys​]

光源座標 $y_s$ys​ に関する積分

被積分関数の指数部を $y_s$ys​ について降べきの順に整理します。

$$-\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sigma_y^2} + \sigma_k^2 A^2 \right) y_s^2 + \left( i k_0 A - \sigma_k^2 A B \right) y_s + \left( i k_0 B - \frac{1}{2} \sigma_k^2 B^2 \right)$$−21​(σy2​1​+σk2​A2)ys2​+(ik0​A−σk2​AB)ys​+(ik0​B−21​σk2​B2)

再度ガウス積分の公式を適用します。 $P = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sigma_y^2} + \sigma_k^2 A^2 \right)$P=21​(σy2​1​+σk2​A2) $Q = i k_0 A - \sigma_k^2 A B$Q=ik0​A−σk2​AB $R = i k_0 B - \frac{1}{2} \sigma_k^2 B^2$R=ik0​B−21​σk2​B2 積分結果は $\propto \exp\left( \frac{Q^2}{4P} + R \right)$∝exp(4PQ2​+R) となります。この指数部の実部が $\ln V(Y)$lnV(Y) に、虚部が $\Phi(Y)$Φ(Y) に対応します。

3. 干渉位相 $\Phi(Y)$Φ(Y) と干渉縞の間隔 $\Lambda$Λ

指数部の虚部を計算します。

$$\Phi(Y) = \text{Im} \left( \frac{Q^2}{4P} + R \right) = \frac{- 2 k_0 \sigma_k^2 A^2 B}{2 \left( 1/\sigma_y^2 + \sigma_k^2 A^2 \right)} + k_0 B = k_0 B \left[ 1 - \frac{\sigma_k^2 A^2}{1/\sigma_y^2 + \sigma_k^2 A^2} \right] = \frac{k_0 B}{1 + \sigma_k^2 \sigma_y^2 A^2}$$Φ(Y)=Im(4PQ2​+R)=2(1/σy2​+σk2​A2)−2k0​σk2​A2B​+k0​B=k0​B[1−1/σy2​+σk2​A2σk2​A2​]=1+σk2​σy2​A2k0​B​

$A = d/l$A=d/l、$B = d Y / L$B=dY/L を代入します。

$$\Phi(Y) = \frac{k_0 d}{L} \cdot \frac{1}{1 + \sigma_k^2 \sigma_y^2 (d/l)^2} \cdot Y$$Φ(Y)=Lk0​d​⋅1+σk2​σy2​(d/l)21​⋅Y

通常（点光源・単色光）の干渉縞の位相は $k_0 d Y / L$k0​dY/L ですが、空間的および時間的コヒーレンスが有限であることによる結合項 $\xi = \sigma_k^2 \sigma_y^2 (d/l)^2$ξ=σk2​σy2​(d/l)2 が分母に現れ、干渉縞の間隔そのものが広がるという非常に興味深い物理現象が示されています。 干渉縞の間隔 $\Lambda$Λ は $\Phi(\Lambda) = 2\pi$Φ(Λ)=2π より、

$$\Lambda = \frac{2\pi L}{k_0 d} \left( 1 + \sigma_k^2 \sigma_y^2 \left(\frac{d}{l}\right)^2 \right)$$Λ=k0​d2πL​(1+σk2​σy2​(ld​)2)

4. ビジビリティ $V(Y)$V(Y) の減衰と $Y_c$Yc​ の計算

指数部の実部を計算します。

$$\ln V(Y) = \text{Re} \left( \frac{Q^2}{4P} + R \right) = \frac{- k_0^2 A^2 + \sigma_k^4 A^2 B^2}{2 \left( 1/\sigma_y^2 + \sigma_k^2 A^2 \right)} - \frac{1}{2} \sigma_k^2 B^2 = - \frac{k_0^2 A^2 \sigma_y^2 + \sigma_k^2 B^2}{2 (1 + \sigma_k^2 \sigma_y^2 A^2)}$$lnV(Y)=Re(4PQ2​+R)=2(1/σy2​+σk2​A2)−k02​A2+σk4​A2B2​−21​σk2​B2=−2(1+σk2​σy2​A2)k02​A2σy2​+σk2​B2​

$V(Y) / V(0) = 1/e$V(Y)/V(0)=1/e となる条件は、$Y$Y に依存する項（$B$B に依存する項）が $-1$−1 になることです。

$$\frac{\sigma_k^2 B_c^2}{2 (1 + \sigma_k^2 \sigma_y^2 A^2)} = 1 \implies \frac{\sigma_k^2 (d Y_c / L)^2}{2 (1 + \sigma_k^2 \sigma_y^2 (d/l)^2)} = 1$$2(1+σk2​σy2​A2)σk2​Bc2​​=1⟹2(1+σk2​σy2​(d/l)2)σk2​(dYc​/L)2​=1

これを $Y_c^2$Yc2​ について解くと、

$$Y_c^2 = \frac{2 L^2}{d^2 \sigma_k^2} \left( 1 + \sigma_k^2 \sigma_y^2 \left(\frac{d}{l}\right)^2 \right)$$Yc2​=d2σk2​2L2​(1+σk2​σy2​(ld​)2)

5. 数値の代入

与えられた制約数値を代入します。 まず、無次元の結合パラメータ $\xi = \sigma_k^2 \sigma_y^2 (d/l)^2$ξ=σk2​σy2​(d/l)2 を計算します。

$$\xi = (1.0 \times 10^6)^2 \times (1.0 \times 10^{-3})^2 \times \left( \frac{2.0 \times 10^{-3}}{1.0} \right)^2 = 10^{12} \times 10^{-6} \times 4.0 \times 10^{-6} = 4.0$$ξ=(1.0×106)2×(1.0×10−3)2×(1.02.0×10−3​)2=1012×10−6×4.0×10−6=4.0

よって、補正係数は $1 + \xi = 5.0$1+ξ=5.0 となります。

$\Lambda$Λ の計算:

$$\Lambda = \frac{2\pi \times 6.0}{1.0 \times 10^7 \times 2.0 \times 10^{-3}} \times 5.0 = \frac{60\pi}{2.0 \times 10^4} = 30\pi \times 10^{-4} \text{ m} = 3\pi \text{ mm}$$Λ=1.0×107×2.0×10−32π×6.0​×5.0=2.0×10460π​=30π×10−4 m=3π mm

したがって、$A = 3$A=3 です。

$Y_c^2$Yc2​ の計算:

$$Y_c^2 = \frac{2 \times (6.0)^2}{(2.0 \times 10^{-3})^2 \times (1.0 \times 10^6)^2} \times 5.0 = \frac{72 \times 5.0}{4.0 \times 10^6} = \frac{360}{4.0 \times 10^6} = 90 \times 10^{-6} \text{ m}^2 = 90 \text{ mm}^2$$Yc2​=(2.0×10−3)2×(1.0×106)22×(6.0)2​×5.0=4.0×10672×5.0​=4.0×106360​=90×10−6 m2=90 mm2

したがって、$B = 90$B=90 です。

求める値は $A \times B$A×B なので、

$$3 \times 90 = 270$$3×90=270

となります。