GEO004 問題5

方針

この問題では、2つの不純物による量子散乱を考えます。

不純物を1つだけ置いた場合の透過振幅と反射振幅を求め、2つの不純物間で生じる多重反射を考慮して、系全体の透過確率を導出します。

その後、完全透過条件から共鳴エネルギーを求め、共鳴点付近における透過確率の変化を調べます。

重要なのは、2つの不純物による散乱波が干渉することで、各不純物が電子を反射する場合でも、系全体の反射が完全に消失し得るという点です。

計算

1. 単独の不純物による散乱

まず、格子点 $n=0$n=0 にのみ不純物が存在する場合を考えます。

無次元量

$$v=\frac{V}{J}$$v=JV​

を導入します。

エネルギー固有値方程式から、不純物のない格子点では

$$Ea_n=-J(a_{n-1}+a_{n+1})$$Ean​=−J(an−1​+an+1​)

が成り立ちます。

一方、不純物のある格子点 $n=0$n=0 では、

$$Ea_0=-J(a_{-1}+a_1)-Va_0$$Ea0​=−J(a−1​+a1​)−Va0​

です。

左側から振幅1の平面波が入射するとして、

$$a_n= \begin{cases} e^{ikn}+r_1e^{-ikn} & (n\leq-1)\\ t_1e^{ikn} & (n\geq1) \end{cases}$$an​={eikn+r1​e−iknt1​eikn​(n≤−1)(n≥1)​

とおきます。

格子点 $n=-1,1$n=−1,1 の固有値方程式から、

$$a_0=1+r_1=t_1$$a0​=1+r1​=t1​

を得ます。

これを不純物点の固有値方程式に代入し、

$$E=-2J\cos k$$E=−2Jcosk

を用いて整理すると、

$$2i\sin k\,r_1=-v(1+r_1)$$2isinkr1​=−v(1+r1​)

となります。

したがって、

$$\boxed{ r_1=\frac{-v}{v+2i\sin k} }$$r1​=v+2isink−v​​

および

$$\boxed{ t_1=\frac{2i\sin k}{v+2i\sin k} }$$t1​=v+2isink2isink​​

を得ます。

2. 二重不純物による透過振幅

次に、格子点 $n=0,2$n=0,2 に不純物が存在する場合を考えます。

2つの不純物間の距離は格子間隔の2倍なので、散乱波が不純物間を1往復すると、伝播によって位相因子

$$e^{4ik}$$e4ik

を獲得します。

各不純物は左右からの入射に対して同じ反射振幅 $r_1$r1​ と透過振幅 $t_1$t1​ をもつため、多重反射をすべて足し合わせると、

$$t(k)=t_1^2 \sum_{m=0}^{\infty} \left(r_1^2e^{4ik}\right)^m$$t(k)=t12​m=0∑∞​(r12​e4ik)m

となります。

$0<k<\pi$0<k<π では $|r_1|<1$∣r1​∣<1 なので、この等比級数は収束します。

したがって、

$$t(k)=\frac{t_1^2}{1-r_1^2e^{4ik}}$$t(k)=1−r12​e4ikt12​​

です。

単独不純物の散乱振幅を代入すると、

$$\boxed{ t(k)= \frac{(2i\sin k)^2} {(v+2i\sin k)^2-v^2e^{4ik}} }$$t(k)=(v+2isink)2−v2e4ik(2isink)2​​

を得ます。

3. 透過確率の一般式

ここで、

$$x=\cos k$$x=cosk

とおきます。

$0<k<\pi$0<k<π より、

$$\sin^2k=1-x^2$$sin2k=1−x2

です。

また、

$$e^{4ik}=\cos4k+i\sin4k$$e4ik=cos4k+isin4k

に対して、

$$\cos4k=1-8x^2(1-x^2)$$cos4k=1−8x2(1−x2) $$\sin4k=4x\sqrt{1-x^2}(2x^2-1)$$sin4k=4x1−x2​(2x2−1)

が成り立ちます。

これらを透過振幅の式に代入して絶対値の二乗を計算し、整理すると、

$$\boxed{ T(E)= \frac{1-x^2} {1-x^2+v^2(2x^2-vx-1)^2} }$$T(E)=1−x2+v2(2x2−vx−1)21−x2​​

を得ます。

この式の分母は分子に非負の項を加えた形になっているため、

$$0<T(E)\leq1$$0<T(E)≤1

が成り立ちます。

4. 完全透過の共鳴エネルギー

完全透過条件は

$$T(E)=1$$T(E)=1

です。

$0<k<\pi$0<k<π より $1-x^2>0$1−x2>0 なので、透過確率の一般式から、

$$v^2(2x^2-vx-1)^2=0$$v2(2x2−vx−1)2=0

となります。

$v>0$v>0 であるため、

$$2x^2-vx-1=0$$2x2−vx−1=0

が完全透過条件です。

制約値より、

$$v=\frac{0.63}{0.18}=\frac72$$v=0.180.63​=27​

なので、

$$2x^2-\frac72x-1=0$$2x2−27​x−1=0

となります。

両辺を2倍すると、

$$4x^2-7x-2=0$$4x2−7x−2=0

です。

これを因数分解して、

$$(4x+1)(x-2)=0$$(4x+1)(x−2)=0

を得ます。

したがって、

$$x=2,\qquad x=-\frac14$$x=2,x=−41​

です。

しかし、$x=\cos k$x=cosk で $0<k<\pi$0<k<π なので、

$$-1<x<1$$−1<x<1

でなければなりません。

よって、物理的に許される解は

$$\boxed{x_*=-\frac14}$$x∗​=−41​​

のみです。

これより、完全透過エネルギーは一意に定まり、

$$\begin{aligned} E_* &=-2Jx_*\\ &=-2J\left(-\frac14\right)\\ &=\frac J2 \end{aligned}$$E∗​​=−2Jx∗​=−2J(−41​)=2J​​

です。

制約値を代入すると、

$$\boxed{E_*=0.09\,\mathrm{eV}}$$E∗​=0.09eV​

となります。

5. 共鳴の鋭さ

求める無次元量は、

$$W=\lim_{E\to E_*} \frac{T(E)^{-1}-1} {\left(\frac{E-E_*}{J}\right)^2}$$W=E→E∗​lim​(JE−E∗​​)2T(E)−1−1​

です。

透過確率の一般式から、

$$T(E)^{-1}-1 = \frac{v^2(2x^2-vx-1)^2}{1-x^2}$$T(E)−1−1=1−x2v2(2x2−vx−1)2​

となります。

ここで、

$$F(x)=2x^2-vx-1$$F(x)=2x2−vx−1

と定義します。

共鳴条件より、

$$F(x_*)=0$$F(x∗​)=0

です。

$F(x)$F(x) を共鳴点付近で展開すると、

$$F(x)=F'(x_*)(x-x_*)+O((x-x_*)^2)$$F(x)=F′(x∗​)(x−x∗​)+O((x−x∗​)2)

となります。

また、

$$E=-2Jx$$E=−2Jx

なので、

$$x-x_*=-\frac{E-E_*}{2J}$$x−x∗​=−2JE−E∗​​

です。

したがって、

$$\begin{aligned} W &=\lim_{x\to x_*} \frac{v^2F(x)^2}{1-x^2} \frac{1}{4(x-x_*)^2}\\ &=\frac{v^2[F'(x_*)]^2}{4(1-x_*^2)} \end{aligned}$$W​=x→x∗​lim​1−x2v2F(x)2​4(x−x∗​)21​=4(1−x∗2​)v2[F′(x∗​)]2​​

となります。

ここで、

$$F'(x)=4x-v$$F′(x)=4x−v

なので、

$$\begin{aligned} F'(x_*) &=4\left(-\frac14\right)-\frac72\\ &=-\frac92 \end{aligned}$$F′(x∗​)​=4(−41​)−27​=−29​​

です。

これらを代入すると、

$$W= \frac{ \left(\frac72\right)^2 \left(-\frac92\right)^2 }{ 4\left(1-\frac1{16}\right) }$$W=4(1−161​)(27​)2(−29​)2​ $$=\frac{ \frac{49}{4}\cdot\frac{81}{4} }{ 4\cdot\frac{15}{16} }$$=4⋅1615​449​⋅481​​ $$=\frac{3969}{60}$$=603969​

したがって、

$$\boxed{W=\frac{1323}{20}}$$W=201323​​

となります。

$1323$1323 と $20$20 は互いに素であるため、これは既約分数です。

よって、

$$p=1323,\qquad q=20$$p=1323,q=20

です。

したがって、

$$p+q=1323+20$$p+q=1323+20

最終的に入力する自然数は、

$$\boxed{1343}$$1343​

です。