GEO004 問題4

方針

被積分関数には複素共役 $\overline{z}$z が含まれているため、そのままでは正則関数として留数定理を適用できません。

しかし、積分経路が円であることを利用すると、円周上の $\overline{z}$z を $z$z の有理式に置き換えられます。

さらに、多項式の対数微分を零点ごとの分数に分解し、それぞれの留数を計算します。このとき、留数の一部が相殺されることを利用すると、計算を簡潔に進められます。

1. 複素共役の置き換え

円 $C$C 上では、

$$|z-2|^2=9$$∣z−2∣2=9

が成立します。

したがって、

$$(z-2)(\overline{z}-2)=9$$(z−2)(z−2)=9

より、

$$\overline{z}=2+\frac{9}{z-2}$$z=2+z−29​

を得ます。

この等式は円周 $C$C 上で成立するため、

$$I=\frac{1}{2\pi i}\oint_C z^3\left(2+\frac{9}{z-2}\right) \frac{P'(z)}{P(z)}\,dz$$I=2πi1​∮C​z3(2+z−29​)P(z)P′(z)​dz

と書き換えられます。

ここで、

$$F(z)=z^3\left(2+\frac{9}{z-2}\right)$$F(z)=z3(2+z−29​)

とおきます。

また、

$$\frac{z^3}{z-2} =z^2+2z+4+\frac{8}{z-2}$$z−2z3​=z2+2z+4+z−28​

なので、

$$F(z)=H(z)+\frac{72}{z-2}$$F(z)=H(z)+z−272​

と表せます。ただし、

$$H(z)=2z^3+9z^2+18z+36$$H(z)=2z3+9z2+18z+36

です。

2. 多項式の零点と積分経路

多項式 $P(z)$P(z) の零点は、

$$z=1\pm i,\qquad z=4\pm i,\qquad z=-2$$z=1±i,z=4±i,z=−2

です。

それぞれの零点と円の中心 $z=2$z=2 との距離は、

$$\begin{aligned} |(1\pm i)-2|&=\sqrt{2}\\ |(4\pm i)-2|&=\sqrt{5}\\ |-2-2|&=4 \end{aligned}$$∣(1±i)−2∣∣(4±i)−2∣∣−2−2∣​=2​=5​=4​

となります。

円の半径は $3$3 なので、円内部の零点は

$$1+i,\quad1-i,\quad4+i,\quad4-i$$1+i,1−i,4+i,4−i

の4つであり、$-2$−2 は円外部にあります。

また、$F(z)$F(z) は $z=2$z=2 に単純極を持ちます。

円周上には極が存在しないため、留数定理を適用できます。

3. 零点ごとの留数

$P(z)$P(z) の5つの零点はすべて単純零点なので、対数微分の性質より、

$$\frac{P'(z)}{P(z)} =\sum_{\beta:P(\beta)=0}\frac{1}{z-\beta}$$P(z)P′(z)​=β:P(β)=0∑​z−β1​

が成立します。

したがって、

$$I=\sum_{\beta:P(\beta)=0} \frac{1}{2\pi i} \oint_C\frac{F(z)}{z-\beta}\,dz$$I=β:P(β)=0∑​2πi1​∮C​z−βF(z)​dz

となります。

まず、円内部の零点 $\beta$β について考えます。

このとき、

$$\frac{F(z)}{z-\beta}$$z−βF(z)​

は、円内部の $z=\beta$z=β と $z=2$z=2 に単純極を持ちます。

$z=\beta$z=β における留数は、

$$\operatorname{Res}_{z=\beta} \frac{F(z)}{z-\beta} =F(\beta)$$Resz=β​z−βF(z)​=F(β)

です。

一方、$z=2$z=2 における留数は、

$$\begin{aligned} \operatorname{Res}_{z=2} \frac{F(z)}{z-\beta} &=\lim_{z\to2} \frac{(z-2)F(z)}{z-\beta}\\ &=\frac{72}{2-\beta} \end{aligned}$$Resz=2​z−βF(z)​​=z→2lim​z−β(z−2)F(z)​=2−β72​​

となります。

したがって、この2つの留数の和は、

$$F(\beta)+\frac{72}{2-\beta}$$F(β)+2−β72​

です。

ここで、

$$F(\beta)=H(\beta)+\frac{72}{\beta-2}$$F(β)=H(β)+β−272​

なので、

$$\begin{aligned} F(\beta)+\frac{72}{2-\beta} &=H(\beta)+\frac{72}{\beta-2} +\frac{72}{2-\beta}\\ &=H(\beta) \end{aligned}$$F(β)+2−β72​​=H(β)+β−272​+2−β72​=H(β)​

となります。

つまり、円内部の各零点について、2つの極から生じる分数の項が相殺されます。

次に、円外部の零点 $\beta=-2$β=−2 について考えます。

この場合、$z=-2$z=−2 は積分経路の外部にあるため、円内部の極は $z=2$z=2 のみです。

したがって、その留数は、

$$\frac{72}{2-(-2)}=18$$2−(−2)72​=18

となります。

以上より、留数定理から、

$$\boxed{ I=\sum_{\beta\text{：円内部の零点}}H(\beta)+18 }$$I=β：円内部の零点∑​H(β)+18​

を得ます。

4. 零点のべき乗和

円内部の4つの零点は、

$$\beta=1+i,\quad1-i,\quad4+i,\quad4-i$$β=1+i,1−i,4+i,4−i

です。

これらの和は、

$$\begin{aligned} \sum_\beta\beta &=(1+i)+(1-i)\\ &\quad+(4+i)+(4-i)\\ &=10 \end{aligned}$$β∑​β​=(1+i)+(1−i)+(4+i)+(4−i)=10​

となります。

二乗和は、

$$\begin{aligned} \sum_\beta\beta^2 &=2(1^2-1^2)+2(4^2-1^2)\\ &=30 \end{aligned}$$β∑​β2​=2(12−12)+2(42−12)=30​

です。

三乗和は、

$$\begin{aligned} \sum_\beta\beta^3 &=2(1^3-3\cdot1)\\ &\quad+2(4^3-3\cdot4)\\ &=-4+104\\ &=100 \end{aligned}$$β∑​β3​=2(13−3⋅1)+2(43−3⋅4)=−4+104=100​

となります。

したがって、

$$\begin{aligned} \sum_\beta H(\beta) &=2\sum_\beta\beta^3 +9\sum_\beta\beta^2\\ &\quad+18\sum_\beta\beta +36\sum_\beta1\\ &=2\cdot100+9\cdot30\\ &\quad+18\cdot10+36\cdot4\\ &=200+270+180+144\\ &=794 \end{aligned}$$β∑​H(β)​=2β∑​β3+9β∑​β2+18β∑​β+36β∑​1=2⋅100+9⋅30+18⋅10+36⋅4=200+270+180+144=794​

を得ます。

5. 積分値の計算

以上より、

$$\begin{aligned} I &=\sum_{\beta\text{：円内部の零点}}H(\beta)+18\\ &=794+18\\ &=812 \end{aligned}$$I​=β：円内部の零点∑​H(β)+18=794+18=812​

となります。

したがって、入力する自然数は

$$\boxed{812}$$812​

です。