GEO004 問題1

乗り手の質量が増えると、ペダルを回す力の上限が増える一方、坂道を上るために必要な力も増加します。

ここで重要なのは、変速比を変えても、損失のない変速機では伝達される仕事率が変化しないことです。

したがって、立ち漕ぎで発揮できる最大仕事率と、一定速度で坂道を上るために必要な仕事率を比較します。

クランクに加えられる最大トルクは

\tau_{\max}=F_{\max}r=\frac{1}{2}mgr

です。

クランクの角速度の上限は $\omega_{\max}$ なので、乗り手が発揮できる最大仕事率は

P_{\max}=\tau_{\max}\omega_{\max} =\frac{1}{2}mgr\omega_{\max}

となります。

一方、坂道を等速で上るために必要な駆動力は、重力の斜面方向成分と空気抵抗の和なので、

F_{\mathrm{required}}=(M+m)g\sin\theta+D

です。

したがって、速さ $v$ で等速走行するために必要な仕事率は

P_{\mathrm{required}} =\{(M+m)g\sin\theta+D\}v

となります。

指定された速度で登坂するためには、

P_{\max}\geq P_{\mathrm{required}}

すなわち、

\frac{1}{2}mgr\omega_{\max} \geq \{(M+m)g\sin\theta+D\}v

が必要です。

また、この条件は十分でもあります。実際、変速比を

n=\frac{v}{R\omega_{\max}}

と選べば、指定された速度 $v$ でクランクを最大角速度 $\omega_{\max}$ で回すことができます。

その際、必要なクランクトルクは

\tau_{\mathrm{required}} =\frac{P_{\mathrm{required}}}{\omega_{\max}}

であり、上の仕事率の不等式が満たされれば、このトルクは $\tau_{\max}$ 以下になります。

よって、先ほどの不等式が登坂可能条件となります。

これを $m$ について整理すると、

m\left(\frac{1}{2}gr\omega_{\max} -vg\sin\theta\right) \geq v(Mg\sin\theta+D)

です。

数値を代入すると、

\begin{aligned} 5.1m&\geq3.9(m+14)+30\\ 5.1m&\geq3.9m+84.6\\ 1.2m&\geq84.6\\ m&\geq70.5 \end{aligned}

となります。

したがって、最小質量は

m_{\min}=70.5\,\mathrm{kg}

です。

このときの変速比は

\begin{aligned} n&=\frac{v}{R\omega_{\max}}\\ &=\frac{3}{0.35\times6}\\ &=\frac{10}{7} \end{aligned}

であり、クランクの力と角速度がちょうどそれぞれの上限となるため、実際に指定速度での等速登坂が可能です。

入力形式より、

10m_{\min}=10\times70.5=\boxed{705}

正解：705

重い人ほど坂道に強い？