GEO003 問題4

回転座標系における時間微分

同じ幾何学的ベクトル $\boldsymbol{A}$A について、慣性系での時間微分と回転座標系での時間微分の間には、

$$\left(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{A}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{I}} = \left(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{A}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{R}} +\boldsymbol{\Omega}\times\boldsymbol{A}$$(dtdA​)I​=(dtdA​)R​+Ω×A

という関係があります。

ここで、添字 $\mathrm{I}$I は慣性系から見た時間微分、添字 $\mathrm{R}$R は回転座標系で成分を微分したものを表します。

位置ベクトル $\boldsymbol{r}$r にこの関係を2回用います。$\boldsymbol{\Omega}$Ω は一定なので、

$$\left(\frac{\mathrm{d}^2\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2}\right)_{\mathrm{I}} = \left(\frac{\mathrm{d}^2\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2}\right)_{\mathrm{R}} +2\boldsymbol{\Omega}\times \left(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{R}} +\boldsymbol{\Omega}\times \left(\boldsymbol{\Omega}\times\boldsymbol{r}\right)$$(dt2d2r​)I​=(dt2d2r​)R​+2Ω×(dtdr​)R​+Ω×(Ω×r)

となります。

回転座標系での運動方程式

慣性系では、シュレに働く水平力は中心向きの弾性力だけなので、

$$m\left(\frac{\mathrm{d}^2\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2}\right)_{\mathrm{I}} =-k\boldsymbol{r}$$m(dt2d2r​)I​=−kr

です。

時間微分の変換式を代入すると、

$$m\left[ \left(\frac{\mathrm{d}^2\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2}\right)_{\mathrm{R}} +2\boldsymbol{\Omega}\times \left(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{R}} +\boldsymbol{\Omega}\times \left(\boldsymbol{\Omega}\times\boldsymbol{r}\right) \right] =-k\boldsymbol{r}$$m[(dt2d2r​)R​+2Ω×(dtdr​)R​+Ω×(Ω×r)]=−kr

です。

運動は水平面内にあり、

$$\boldsymbol{\Omega}=\Omega\boldsymbol{e}_z$$Ω=Ωez​

であるため、

$$\boldsymbol{\Omega}\times \left(\boldsymbol{\Omega}\times\boldsymbol{r}\right) =-\Omega^2\boldsymbol{r}$$Ω×(Ω×r)=−Ω2r

となります。

したがって、回転座標系における運動方程式は、

$$\left(\frac{\mathrm{d}^2\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2}\right)_{\mathrm{R}} +2\boldsymbol{\Omega}\times \left(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{R}} +\left(\frac{k}{m}-\Omega^2\right)\boldsymbol{r} =\boldsymbol{0}$$(dt2d2r​)R​+2Ω×(dtdr​)R​+(mk​−Ω2)r=0

です。

ここで、

$$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$$ω0​=mk​​

とおくと、

$$\left(\frac{\mathrm{d}^2\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2}\right)_{\mathrm{R}} +2\boldsymbol{\Omega}\times \left(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{R}} +\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)\boldsymbol{r} =\boldsymbol{0}$$(dt2d2r​)R​+2Ω×(dtdr​)R​+(ω02​−Ω2)r=0

と表せます。

成分による運動方程式

回転座標系で、

$$\boldsymbol{r} =x\boldsymbol{e}_x+y\boldsymbol{e}_y$$r=xex​+yey​

と表します。

回転座標系での速度は、

$$\left(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{R}} =\dot{x}\boldsymbol{e}_x+\dot{y}\boldsymbol{e}_y$$(dtdr​)R​=x˙ex​+y˙​ey​

です。

したがって、コリオリ項は、

$$2\boldsymbol{\Omega}\times \left(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{R}} = -2\Omega\dot{y}\boldsymbol{e}_x +2\Omega\dot{x}\boldsymbol{e}_y$$2Ω×(dtdr​)R​=−2Ωy˙​ex​+2Ωx˙ey​

となります。

よって、$x$x 成分と $y$y 成分の運動方程式は、

$$\begin{aligned} \ddot{x}-2\Omega\dot{y} +\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)x&=0,\\ \ddot{y}+2\Omega\dot{x} +\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)y&=0 \end{aligned}$$x¨−2Ωy˙​+(ω02​−Ω2)xy¨​+2Ωx˙+(ω02​−Ω2)y​=0,=0​

です。

複素変数による正規モード

複素変数を

$$z=x+iy$$z=x+iy

と定義します。

$x$x 成分の式に、$y$y 成分の式の $i$i 倍を加えると、

$$\ddot{z} +2i\Omega\dot{z} +\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)z =0$$z¨+2iΩz˙+(ω02​−Ω2)z=0

を得ます。

円運動型の正規モードとして、

$$z(t)=A e^{-i\sigma t}$$z(t)=Ae−iσt

を仮定します。ここで、$\sigma$σ は回転方向の情報を含む符号付き角振動数です。

このとき、

$$\dot{z}=-i\sigma z, \qquad \ddot{z}=-\sigma^2z$$z˙=−iσz,z¨=−σ2z

なので、運動方程式への代入により、

$$-\sigma^2+2\Omega\sigma+\omega_0^2-\Omega^2=0$$−σ2+2Ωσ+ω02​−Ω2=0

となります。

これは、

$$(\sigma-\Omega)^2=\omega_0^2$$(σ−Ω)2=ω02​

と整理できるため、

$$\sigma=\Omega\pm\omega_0$$σ=Ω±ω0​

です。

今回の条件では $\omega_0>\Omega$ω0​>Ω なので、一方の根は正、もう一方の根は負になります。負号は円運動の向きが反対であることを表します。

各モードの固有角振動数は $\sigma$σ の絶対値と定義されているため、

$$\omega_{\mathrm{H}}=\omega_0+\Omega$$ωH​=ω0​+Ω

および、

$$\omega_{\mathrm{L}}=\omega_0-\Omega$$ωL​=ω0​−Ω

です。

数値の代入

慣性系における振動の角振動数は、

$$\begin{aligned} \omega_0 &=\sqrt{\frac{k}{m}}\\ &=\sqrt{\frac{144\,\mathrm{N/m}} {4.00\,\mathrm{kg}}}\\ &=6.00\,\mathrm{rad/s} \end{aligned}$$ω0​​=mk​​=4.00kg144N/m​​=6.00rad/s​

です。

したがって、

$$\omega_{\mathrm{H}} =6.00+2.50 =8.50\,\mathrm{rad/s}$$ωH​=6.00+2.50=8.50rad/s

であり、

$$\omega_{\mathrm{L}} =6.00-2.50 =3.50\,\mathrm{rad/s}$$ωL​=6.00−2.50=3.50rad/s

です。

よって、

$$\begin{aligned} \frac{\omega_{\mathrm{H}}}{\omega_{\mathrm{L}}} &=\frac{8.50}{3.50}\\ &=\frac{17}{7} \end{aligned}$$ωL​ωH​​​=3.508.50​=717​​

となります。

別解

慣性系では、シュレの運動方程式は、

$$\ddot{\boldsymbol{r}}+\omega_0^2\boldsymbol{r} =\boldsymbol{0}$$r¨+ω02​r=0

です。

等方的な二次元調和振動の円運動型モードは、反時計回りと時計回りの2種類です。慣性系での複素座標を

$$Z=X+iY$$Z=X+iY

とすると、それぞれ

$$Z_+(t)=A e^{i\omega_0t}$$Z+​(t)=Aeiω0​t

および、

$$Z_-(t)=B e^{-i\omega_0t}$$Z−​(t)=Be−iω0​t

と表せます。

回転座標系は慣性系に対して角速度 $\Omega$Ω で反時計回りに回転しています。時刻 $t$t における両座標系の複素座標の関係は、

$$Z=e^{i\Omega t}z$$Z=eiΩtz

です。

したがって、

$$z=e^{-i\Omega t}Z$$z=e−iΩtZ

となります。

反時計回りのモードについては、

$$\begin{aligned} z_+(t) &=e^{-i\Omega t}A e^{i\omega_0t}\\ &=A e^{i(\omega_0-\Omega)t} \end{aligned}$$z+​(t)​=e−iΩtAeiω0​t=Aei(ω0​−Ω)t​

です。

よって、このモードの固有角振動数は、

$$\omega_0-\Omega$$ω0​−Ω

です。

時計回りのモードについては、

$$\begin{aligned} z_-(t) &=e^{-i\Omega t}B e^{-i\omega_0t}\\ &=B e^{-i(\omega_0+\Omega)t} \end{aligned}$$z−​(t)​=e−iΩtBe−iω0​t=Be−i(ω0​+Ω)t​

です。

よって、このモードの固有角振動数は、

$$\omega_0+\Omega$$ω0​+Ω

です。

したがって、

$$\omega_{\mathrm{H}}=\omega_0+\Omega, \qquad \omega_{\mathrm{L}}=\omega_0-\Omega$$ωH​=ω0​+Ω,ωL​=ω0​−Ω

と直ちに分かります。

以上より、

$$p=17,\qquad q=7$$p=17,q=7

なので、入力すべき自然数は、

$$p+q=17+7=24$$p+q=17+7=24

です。

入力すべき自然数は 24 です。