GEO001 問題1

解説

1. 座標系の設定と球のつり合い

壁と床の交点を原点$O(0,0)$O(0,0)とし、水平右向きに$x$x軸、鉛直上向きに$y$y軸をとります。 球は壁（$x=0$x=0）と三角柱の斜面に接して静止しています。壁および斜面はなめらかであるため、球が受ける抗力は面に垂直な垂直抗力のみです。 球が三角柱の斜面から受ける垂直抗力を$N_p$Np​とします。斜面は水平に対して角度$\theta$θをなすため、斜面に垂直な方向（$N_p$Np​の向き）は鉛直方向に対して角度$\theta$θだけ傾いています（左上方向）。 球にはたらく鉛直方向の力のつり合いより、 $N_p\cos\theta = mg$Np​cosθ=mg $N_p = \frac{mg}{\cos\theta}$Np​=cosθmg​ となります。

2. 球と三角柱の接点の座標

球の中心の$x$x座標は、壁に接していることから$x_c = R$xc​=Rです。 球から三角柱への力は、三角柱から球への垂直抗力$N_p$Np​の反作用であり、球の中心から接点に向かう方向（右下方向、鉛直から角度$\theta$θ）にはたらきます。 したがって、接点の$x$x座標$x_p$xp​は次のように求まります。 $x_p = x_c + R\sin\theta = R(1 + \sin\theta)$xp​=xc​+Rsinθ=R(1+sinθ) 三角柱の斜面を表す直線の方程式は、点$(D,0)$(D,0)を通り傾き$\tan\theta$tanθの直線なので、$y = (x - D)\tan\theta$y=(x−D)tanθと表せます。 接点はこの直線上にあるため、接点の$y$y座標$y_p$yp​は以下のようになります。 $y_p = (x_p - D)\tan\theta$yp​=(xp​−D)tanθ

3. 三角柱にはたらく力と転倒条件

三角柱が転倒する際、右下の角が回転軸（支点）となります。この支点の座標は$(D+W, 0)$(D+W,0)です。 三角柱にはたらく力のうち、転倒に関与するモーメントを生むのは以下の2つです。

1. 重力$Mg$Mg 三角柱（直角三角形）の重心の$x$x座標は、$D + \frac{2}{3}W$D+32​Wです。 重力は支点よりも左側に作用するため、反時計回り（転倒を妨げる向き）のモーメントを生じます。 その大きさ$\tau_g$τg​は以下の通りです。 $\tau_g = Mg \left( (D+W) - \left(D + \frac{2}{3}W\right) \right) = Mg\frac{W}{3}$τg​=Mg((D+W)−(D+32​W))=Mg3W​
2. 球から受ける垂直抗力（反作用）$N_p$Np​ この力は接点$(x_p, y_p)$(xp​,yp​)において、水平右向きに$F_x$Fx​、鉛直下向きに$F_y$Fy​の成分を持ちます。 $F_x = N_p\sin\theta = mg\tan\theta$Fx​=Np​sinθ=mgtanθ $F_y = N_p\cos\theta = mg$Fy​=Np​cosθ=mg これらが支点$(D+W, 0)$(D+W,0)の周りに作る時計回り（転倒させる向き）のモーメント$\tau_{top}$τtop​は、各成分のモーメントの和となります。 $F_x$Fx​は高さ$y_p$yp​で右向きに押すため時計回りのモーメントを生み、$F_y$Fy​は支点より左側$(x_p)$(xp​)で下向きに押すため反時計回りのモーメントを生みます。したがって、時計回りを正とすると、 $\tau_{top} = F_x \cdot y_p - F_y \cdot ((D+W) - x_p)$τtop​=Fx​⋅yp​−Fy​⋅((D+W)−xp​) $= mg\tan\theta \cdot (x_p - D)\tan\theta - mg(D+W - x_p)$=mgtanθ⋅(xp​−D)tanθ−mg(D+W−xp​) $= mg \left[ (x_p - D)\tan^2\theta - (D+W) + x_p \right]$=mg[(xp​−D)tan2θ−(D+W)+xp​] $= mg \left[ x_p(1+\tan^2\theta) - D(1+\tan^2\theta) - W \right]$=mg[xp​(1+tan2θ)−D(1+tan2θ)−W] ここで、$1+\tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$1+tan2θ=cos2θ1​であることを用いると、 $\tau_{top} = mg \left[ \frac{x_p - D}{\cos^2\theta} - W \right]$τtop​=mg[cos2θxp​−D​−W] となります。

三角柱が転倒を開始する条件は、転倒させるモーメントが重力による復元モーメントを上回ることです。 $\tau_{top} \ge \tau_g$τtop​≥τg​ $mg \left[ \frac{R(1+\sin\theta) - D}{\cos^2\theta} - W \right] \ge Mg\frac{W}{3}$mg[cos2θR(1+sinθ)−D​−W]≥Mg3W​

4. 数値の代入と解答

与えられた制約の数値を式に代入します。 $\theta = 30^\circ$θ=30∘より、$\sin30^\circ = \frac{1}{2}$sin30∘=21​、$\cos^230^\circ = \frac{3}{4}$cos230∘=43​です。 接点の$x$x座標$x_p$xp​を計算します。 $x_p = 0.40 \times \left(1 + \frac{1}{2}\right) = 0.60\text{ m}$xp​=0.40×(1+21​)=0.60 m 左辺のブラケット内の値を計算します。 $\frac{0.60 - 0.30}{3/4} - 0.36 = \frac{0.30}{0.75} - 0.36 = 0.40 - 0.36 = 0.04\text{ m}$3/40.60−0.30​−0.36=0.750.30​−0.36=0.40−0.36=0.04 m 右辺の重力モーメントの腕の長さを計算します。 $\frac{W}{3} = \frac{0.36}{3} = 0.12\text{ m}$3W​=30.36​=0.12 m これらを転倒条件の不等式に代入します。 $m \cdot 0.04 \ge M \cdot 0.12$m⋅0.04≥M⋅0.12 $m \ge 3M$m≥3M $M = 15\text{ kg}$M=15 kgであるため、限界となる質量$m$mは、 $m = 3 \times 15 = 45\text{ kg}$m=3×15=45 kg となります。（なお、$x_p=0.60\text{ m}$xp​=0.60 mは$D \le x_p \le D+W \implies 0.30 \le 0.60 \le 0.66$D≤xp​≤D+W⟹0.30≤0.60≤0.66を満たすため、接点は確かに斜面上に存在します。）