GBO004 問題9
Problem Statement
小球を騒がしく離した際の運動
問題文
ある小球を、静かに離すのではなく騒がしく離すときの運動を考える。
ここで騒がしく離すとは、小球を離す瞬間の鉛直方向の初速度 v0 と、地面からの高さ h が任意の値を取るような離し方である。ただし、鉛直上向きを速度の正の向きとする。
この問題では、v0 および h が次の範囲で任意の値を取るものとする。
−V≤v0≤V H−A≤h≤H+Aただし、H>A>0、V>0 とする。
このとき、小球が初めて地面に達する直前の速さの最大値を vM、最小値を vm とする。
最大値と最小値の差 Δv=vM−vm を求めよ。
ただし、空気抵抗は無視できるものとし、重力加速度の大きさを g とする。
制約
- H=20m
- A=0.40m
- V=0.40m/s
- g=9.8m/s2
入力形式
Δv を m/s を単位として求め、その数値を10倍した自然数を入力せよ。
Solution
1. 力学的エネルギー保存則
小球には重力のみがはたらくため、力学的エネルギーが保存されます。
小球の質量を m、地面に達する直前の速さを v とすると、
21mv02+mgh=21mv2が成り立ちます。これを整理すると、
v=v02+2ghとなります。
2. 速さの最大値
v が最大となるのは、v02 と h がともに最大となるときです。
したがって、v0=±V、h=H+A のとき、
vM=V2+2g(H+A)となります。
3. 速さの最小値
v が最小となるのは、v02 と h がともに最小となるときです。
ここで、v0 は正負どちらの値も取れるため、v02 が最小となるのは v0=0 のときです。
したがって、v0=0、h=H−A のとき、
vm=2g(H−A)となります。
4. 最大値と最小値の差
以上より、
Δv=V2+2g(H+A)−2g(H−A)です。
数値を代入すると、
vM=0.402+2×9.8×20.4=400=20m/sおよび、
vm=2×9.8×19.6=384.16=19.6m/sとなります。
よって、
Δv=20−19.6=0.4m/sです。
入力すべき自然数は、
0.4×10=4です。