GBO003 問題6
Problem Statement
山頂でふくらむフグ風船
問題文
海辺の町の工房で、学園祭用の巨大なフグ風船に空気を詰めた。風船は「これ以上ふくらむと本物のフグよりフグらしい」と評判になった。
その後、風船を密閉した車に積み、山頂の屋外会場まで運んだ。会場に到着して車外へ出し、十分な時間が経過すると、風船内部の空気は屋外と熱平衡になった。
風船は十分に柔らかく、膜の張力による圧力差は無視できるものとする。このため、風船内部の圧力は各地点の外気圧に等しい。また、移動中に空気の出入りはなく、内部の気体の物質量は一定である。内部の空気はボイル・シャルルの法則に従うものとする。
海辺の町での風船の体積を V1、山頂での体積を V2 とする。
制約
- 海辺の町の外気圧：P1=100kPa
- 山頂の外気圧：P2=92.0kPa
- 海辺の町の気温：t1=21.0∘C
- 山頂の気温：t2=0.0∘C
- 絶対温度とセルシウス温度の関係：T=(t+273)K
入力形式
体積比 V1V2 を既約分数 qp と表す。ただし、p と q は互いに素な自然数とする。
p+q を自然数で入力せよ。
Solution
温度を絶対温度に変換する
ボイル・シャルルの法則で用いる温度は、セルシウス温度ではなく絶対温度です。
海辺の町での絶対温度は、
T1=21.0+273=294Kです。
山頂での絶対温度は、
T2=0.0+273=273Kです。
二つの状態を結び付ける
風船内部の気体の物質量は一定です。また、移動前後ではそれぞれ平衡状態にあるため、ボイル・シャルルの法則より、
T1P1V1=T2P2V2が成り立ちます。
この式を体積比 V1V2 について整理すると、
V1V2=P2T1P1T2となります。
数値を代入すると、
V1V2=92.0×294100×273=2704827300=322325です。
したがって、
p=325,q=322です。
山頂では温度が低いため空気を縮ませる効果がありますが、気圧の低下によって空気を膨張させる効果がわずかに上回ります。そのため、フグ風船は山頂で少しだけ得意げにふくらみます。
求める自然数は、
p+q=325+322=647です。
入力すべき自然数は 647 です。