GBO002 問題6

ボーア模型でのエネルギー準位

ボーアの水素原子模型では、電子は連続的なエネルギーをもつのではなく、量子数 $n$n によって決まる特定のエネルギー準位だけをとると考えます。

この問題では、そのエネルギーを

$$E_n=-\frac{K}{n^2}$$En​=−n2K​

としています。

ここで、エネルギーが負であることには意味があります。電子は原子核に束縛されており、原子核から無限に遠く離れた状態を基準にすると、束縛状態のエネルギーは負になります。

また、$n$n が小さいほど

$$-\frac{K}{n^2}$$−n2K​

はより小さい値、つまりより低いエネルギーになります。

放出光子のエネルギー

電子は $n_i=3$ni​=3 から $n_f=2$nf​=2 へ移ります。これは外側の軌道から内側の軌道への遷移なので、電子のエネルギーは下がります。

電子が失ったエネルギーが、光子のエネルギーとして放出されます。したがって、光子のエネルギーは

$$hf=E_{n_i}-E_{n_f}$$hf=Eni​​−Enf​​

です。

それぞれのエネルギーは

$$E_{n_i}=E_3=-\frac{K}{3^2}$$Eni​​=E3​=−32K​ $$E_{n_f}=E_2=-\frac{K}{2^2}$$Enf​​=E2​=−22K​

です。

よって、

$$hf = \left(-\frac{K}{9}\right) - \left(-\frac{K}{4}\right)$$hf=(−9K​)−(−4K​)

となります。

これを整理すると、

$$hf = K\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)$$hf=K(41​−91​)

です。

エネルギー差を求める

括弧内を計算します。

$$\frac{1}{4}-\frac{1}{9} = \frac{9-4}{36} = \frac{5}{36}$$41​−91​=369−4​=365​

したがって、

$$hf=\frac{5K}{36}$$hf=365K​

です。

制約より $K=13.6\ \mathrm{eV}$K=13.6 eV なので、

$$hf=\frac{5\times 13.6}{36}\ \mathrm{eV}$$hf=365×13.6​ eV

です。

ここで $13.6=\frac{68}{5}$13.6=568​ だから、

$$hf = \frac{5}{36}\cdot \frac{68}{5} = \frac{68}{36} = \frac{17}{9}\ \mathrm{eV}$$hf=365​⋅568​=3668​=917​ eV

となります。

振動数を求める

光子のエネルギーと振動数の関係は

$$hf=\frac{17}{9}\ \mathrm{eV}$$hf=917​ eV

です。

したがって、

$$f=\frac{17}{9h}$$f=9h17​

となります。

制約より

$$h=4.14\times 10^{-15}\ \mathrm{eV\cdot s}$$h=4.14×10−15 eV⋅s

です。$4.14=\frac{414}{100}=\frac{207}{50}$4.14=100414​=50207​ と表せるので、

$$h=\frac{207}{50}\times 10^{-15}\ \mathrm{eV\cdot s}$$h=50207​×10−15 eV⋅s

です。

したがって、

$$f = \frac{17}{9\cdot \frac{207}{50}\times 10^{-15}}$$f=9⋅50207​×10−1517​

となります。

分母を整理すると、

$$f = \frac{17\cdot 50}{9\cdot 207}\times 10^{15}\ \mathrm{Hz}$$f=9⋅20717⋅50​×1015 Hz

です。

つまり、

$$f = \frac{850}{1863}\times 10^{15}\ \mathrm{Hz}$$f=1863850​×1015 Hz

です。

入力用の無次元量に直す

問題では

$$X=\frac{f}{10^{13}\ \mathrm{Hz}}$$X=1013 Hzf​

を考えます。

よって、

$$X = \frac{\frac{850}{1863}\times 10^{15}}{10^{13}}$$X=10131863850​×1015​

です。

指数部分は

$$\frac{10^{15}}{10^{13}}=10^2=100$$10131015​=102=100

なので、

$$X = \frac{850}{1863}\times 100 = \frac{85000}{1863}$$X=1863850​×100=186385000​

となります。

$85000$85000 と $1863$1863 は互いに素なので、これは既約分数です。したがって、

$$p=85000,\qquad q=1863$$p=85000,q=1863

です。

よって、

$$p+q=85000+1863=86863$$p+q=85000+1863=86863

となります。

したがって、入力すべき自然数は

$$\boxed{86863}$$86863​

です。