GBO002 問題4

衝突前のエネルギーを比べる

金属ピンは木片にめりこみながら止まります。このとき、金属ピンがもっていた運動エネルギーは、木片を変形させるための仕事に変わります。

木片は重い台に固定されているので、衝突後に木片全体が大きく動き出すことは考えません。また、金属ピンは回転せずに一直線に進むので、ここでは並進運動のエネルギーだけを考えればよいです。

運動エネルギーは、問題文で与えられているように

$$\frac{1}{2}mv^2$$21​mv2

です。

ここで、質量 $m$m が大きいほど運動エネルギーは大きくなります。また、速さ $v$v は二乗で効くので、速さの違いはエネルギーに強く影響します。

めりこみ深さと仕事の関係

木片が金属ピンを止めるために及ぼす平均の抵抗力を $F$F とします。

金属ピンが深さ $d$d だけめりこむ間に、木片の抵抗力がする仕事の大きさは

$$Fd$$Fd

です。

金属ピンは最後に止まるので、衝突直前にもっていた運動エネルギーは、この仕事によって失われたと考えます。したがって、

$$Fd=\frac{1}{2}mv^2$$Fd=21​mv2

となります。

この式を $d$d について見ると、

$$d=\frac{mv^2}{2F}$$d=2Fmv2​

です。

AとBで平均の抵抗力 $F$F は同じ大きさであるとみなすので、めりこみ深さの比では $2F$2F が打ち消されます。したがって、

$$\frac{d_B}{d_A} = \frac{m_Bv_B^2}{m_Av_A^2}$$dA​dB​​=mA​vA2​mB​vB2​​

となります。

数値を代入する

制約の値を代入します。

$$\frac{d_B}{d_A} = \frac{0.120\times(3.60)^2}{0.0800\times(4.50)^2}$$dA​dB​​=0.0800×(4.50)20.120×(3.60)2​

ここで、小数のまま計算してもよいですが、比を見やすくするために、次のように分けて考えます。

$$\frac{d_B}{d_A} = \frac{0.120}{0.0800} \times \left(\frac{3.60}{4.50}\right)^2$$dA​dB​​=0.08000.120​×(4.503.60​)2

まず、質量の比は

$$\frac{0.120}{0.0800} = \frac{3}{2}$$0.08000.120​=23​

です。

次に、速さの比は

$$\frac{3.60}{4.50} = \frac{4}{5}$$4.503.60​=54​

です。

速さは二乗で効くので、

$$\left(\frac{3.60}{4.50}\right)^2 = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$$(4.503.60​)2=(54​)2=2516​

となります。

よって、

$$\frac{d_B}{d_A} = \frac{3}{2}\times\frac{16}{25}$$dA​dB​​=23​×2516​

です。

これを計算すると、

$$\frac{d_B}{d_A} = \frac{48}{50} = \frac{24}{25}$$dA​dB​​=5048​=2524​

となります。

答えの形に合わせる

求めた比は

$$\frac{d_B}{d_A} = \frac{24}{25}$$dA​dB​​=2524​

です。

したがって、既約分数 $\dfrac{p}{q}$qp​ において

$$p=24,\quad q=25$$p=24,q=25

です。

入力すべき値は $100p+q$100p+q なので、

$$100p+q=100\times24+25=2425$$100p+q=100×24+25=2425

です。

よって、入力すべき自然数は 2425 です。