GBO002 問題3

全反射で進む光の道のりに注目する

光ファイバーでは、光が内側の境目で全反射をくり返すことで、外へもれにくくなります。

この問題では、光ファイバーBの中の光は中心線に沿ってまっすぐ進むのではなく、少しななめに進みます。そのため、中心線に沿った長さよりも、光が実際に進む道のりのほうが長くなります。

ここでは、全反射が起こる条件を計算する必要はありません。問題文で与えられた「中心線に沿った長さ $a$a に対して、実際の道のりが $b$b になる」という関係を使います。

光ファイバーAの到着時間

光ファイバーAでは、光が実際に進む道のりは $L_A$LA​ です。

道のりを速さで割ると時間が求められるので、光ファイバーAの到着時間 $t_A$tA​ は

$$t_A=\frac{L_A}{v}$$tA​=vLA​​

です。

光ファイバーBで実際に進む道のり

光ファイバーBでは、中心線に沿って $a$a 進むごとに、光は実際には $b$b 進みます。

したがって、光ファイバーBで光が実際に進む道のり $S_B$SB​ は、中心線に沿った長さ $L_B$LB​ の

$$\frac{b}{a}$$ab​

倍です。

よって、

$$S_B=\frac{b}{a}L_B$$SB​=ab​LB​

となります。

制約より、

$$a=12.0\,\mathrm{cm},\quad b=13.0\,\mathrm{cm}$$a=12.0cm,b=13.0cm

なので、

$$\frac{b}{a}=\frac{13.0}{12.0}=\frac{13}{12}$$ab​=12.013.0​=1213​

です。

また、

$$L_B=12.0\,\mathrm{m}$$LB​=12.0m

だから、

$$S_B=\frac{13}{12}\times 12.0=13.0\,\mathrm{m}$$SB​=1213​×12.0=13.0m

です。

光ファイバーBの到着時間

光ファイバーBを通る光の到着時間 $t_B$tB​ は、実際に進む道のり $S_B$SB​ を速さ $v$v で割ればよいので、

$$t_B=\frac{S_B}{v}$$tB​=vSB​​

です。

到着時間の差を求める

求めたいのは

$$t_B-t_A$$tB​−tA​

です。

どちらの光も同じ速さ $v$v で進むため、到着時間の差は、実際に進む道のりの差を速さで割れば求められます。

光ファイバーBで実際に進む道のりは

$$S_B=13.0\,\mathrm{m}$$SB​=13.0m

であり、光ファイバーAで実際に進む道のりは

$$L_A=5.60\,\mathrm{m}$$LA​=5.60m

です。

したがって、

$$t_B-t_A=\frac{S_B-L_A}{v}$$tB​−tA​=vSB​−LA​​

です。

数値を代入すると、

$$t_B-t_A=\frac{13.0-5.60}{2.00\times 10^8}$$tB​−tA​=2.00×10813.0−5.60​

となります。

道のりの差は

$$13.0-5.60=7.40\,\mathrm{m}$$13.0−5.60=7.40m

なので、

$$t_B-t_A=\frac{7.40}{2.00\times 10^8} =3.70\times 10^{-8}\,\mathrm{s}$$tB​−tA​=2.00×1087.40​=3.70×10−8s

です。

入力する値

入力形式では、$t_B-t_A$tB​−tA​ に $10^9$109 を掛けた値を入力します。

よって、

$$10^9(t_B-t_A)=10^9\times 3.70\times 10^{-8}=37$$109(tB​−tA​)=109×3.70×10−8=37

です。

入力すべき自然数は

$$\boxed{37}$$37​

です。