GBO002 問題10

光電子が放出される条件

光電効果では、入射光子のエネルギーが光電面の仕事関数 $W$W より大きいとき、電子を外へ取り出すことができます。

光子のエネルギーは

$$E=\frac{hc}{\lambda}$$E=λhc​

です。これを $\mathrm{eV}$eV 単位で表すには $e$e で割ればよいので、近赤外光子のエネルギーは

$$E_{\mathrm{IR}}=\frac{hc}{e\lambda_{\mathrm{IR}}}$$EIR​=eλIR​hc​

です。

数値を代入すると、

$$E_{\mathrm{IR}} = \frac{1.24\times 10^{-6}}{8.00\times 10^{-7}} = 1.55\ \mathrm{eV}$$EIR​=8.00×10−71.24×10−6​=1.55 eV

です。

一方、仕事関数は

$$W=1.25\ \mathrm{eV}$$W=1.25 eV

なので、

$$E_{\mathrm{IR}}>W$$EIR​>W

が成り立ちます。したがって、この近赤外光は光電面から電子を放出できます。

ただし、現実の光電面では、入射したすべての光子が電子を放出するわけではありません。この問題では、その割合を $q$q として与えています。

加速された電子のエネルギー

電子が電位差 $V$V で加速されると、電子が得るエネルギーは $eV$eV です。$\mathrm{eV}$eV 単位で考えると、電位差 $V\ \mathrm{V}$V V によるエネルギー増加は、そのまま $V\ \mathrm{eV}$V eV です。

問題文より、放出直後の光電子の初運動エネルギーは、加速によって得るエネルギーに比べて十分小さいため無視できます。したがって、蛍光面に到達する電子の運動エネルギー $K$K は、加速電圧によるもののみを考慮すればよく、

$$K=V$$K=V

とみなせます。

よって、

$$K=1.55\times 10^3\ \mathrm{eV}$$K=1.55×103 eV

です。

蛍光面で生じる可視光子のエネルギー

蛍光面から出る可視光子のエネルギーを $E_{\mathrm{g}}$Eg​ とすると、

$$E_{\mathrm{g}}=\frac{hc}{e\lambda_{\mathrm{g}}}$$Eg​=eλg​hc​

です。

数値を代入すると、

$$E_{\mathrm{g}} = \frac{1.24\times 10^{-6}}{5.60\times 10^{-7}} = \frac{31}{14}\ \mathrm{eV}$$Eg​=5.60×10−71.24×10−6​=1431​ eV

です。

入射光子あたりの平均可視光子数

入射光子 $1$1 個あたり、光電子を放出する平均個数は $q$q です。

放出された電子 $1$1 個は、蛍光面に到達すると運動エネルギー $V\ \mathrm{eV}$V eV を持ちます。そのうち割合 $\eta$η が可視光のエネルギーに変換されるので、電子 $1$1 個あたり可視光に変換されるエネルギーは

$$\eta V$$ηV

です。

したがって、入射光子 $1$1 個あたり可視光に変換される平均エネルギーは

$$q\eta V$$qηV

です。

可視光子 $1$1 個のエネルギーが $E_{\mathrm{g}}$Eg​ なので、入射光子あたりの平均可視光子数 $N$N は

$$N=\frac{q\eta V}{E_{\mathrm{g}}}$$N=Eg​qηV​

です。

これに数値を代入すると、

$$N = \frac{0.200\times 0.0280\times 1.55\times 10^3}{31/14}$$N=31/140.200×0.0280×1.55×103​

です。

分子は

$$0.200\times 0.0280\times 1.55\times 10^3 = 8.68$$0.200×0.0280×1.55×103=8.68

なので、

$$N = 8.68\times \frac{14}{31} = 3.92$$N=8.68×3114​=3.92

です。

したがって、入力すべき値は

$$100N=392$$100N=392

です。

よって、入力すべき自然数は

$$\boxed{392}$$392​

です。