GBO001 問題6

解説

この問題は、崩壊連鎖（$\beta$β 崩壊、$\gamma$γ 崩壊、$\alpha$α 崩壊）の順に時間を遡って質量と運動の条件を決定していくことで解くことができます。

1. $\beta^-$β− 崩壊と基底状態の原子核B'の質量 $M_{B'}$MB′​ の導出

まず、静止した原子核B'の $\beta^-$β− 崩壊について考えます。 電子が最大運動エネルギー $K_e$Ke​ を持つとき、反ニュートリノのエネルギーはゼロであり、原子核Cの反跳エネルギーも無視できるため、反応前後の質量とエネルギーの保存則（アインシュタインの質量とエネルギーの等価性）より以下の式が成り立ちます。 $M_{B'} c^2 = M_C c^2 + m_e c^2 + K_e$MB′​c2=MC​c2+me​c2+Ke​ 両辺を $c^2$c2 で割り、$M_{B'}$MB′​ を求めます。 $M_{B'} = M_C + m_e + \frac{K_e}{c^2}$MB′​=MC​+me​+c2Ke​​ 与えられた数値を代入します。 $\frac{K_e}{c^2} = \frac{7.2 \times 10^{-14}}{(3.0 \times 10^8)^2} = \frac{7.2 \times 10^{-14}}{9.0 \times 10^{16}} = 0.8 \times 10^{-30} \text{ kg}$c2Ke​​=(3.0×108)27.2×10−14​=9.0×10167.2×10−14​=0.8×10−30 kg $m_e + \frac{K_e}{c^2} = 9.0 \times 10^{-31} + 8.0 \times 10^{-31} = 17.0 \times 10^{-31} \text{ kg} = 1.7 \times 10^{-30} \text{ kg}$me​+c2Ke​​=9.0×10−31+8.0×10−31=17.0×10−31 kg=1.7×10−30 kg したがって、$M_{B'}$MB′​ は次のように求まります。 $M_{B'} = 331997.2 \times 10^{-30} + 1.7 \times 10^{-30} = 331998.9 \times 10^{-30} \text{ kg}$MB′​=331997.2×10−30+1.7×10−30=331998.9×10−30 kg

2. $\gamma$γ 崩壊と励起状態の原子核Bの質量 $M_B$MB​ の導出

次に、原子核Bの $\gamma$γ 崩壊による質量欠損を考えます。 問題の条件より、$\gamma$γ 線放出時の反跳エネルギーを無視するため、静止系におけるエネルギー保存則は以下のように記述できます。 $M_B c^2 = M_{B'} c^2 + h\nu_0$MB​c2=MB′​c2+hν0​ 同様に両辺を $c^2$c2 で割り、$M_B$MB​ を求めます。 $M_B = M_{B'} + \frac{h\nu_0}{c^2}$MB​=MB′​+c2hν0​​ 与えられた数値を代入します。 $h\nu_0 = (6.6 \times 10^{-34}) \times (1.5 \times 10^{20}) = 9.9 \times 10^{-14} \text{ J}$hν0​=(6.6×10−34)×(1.5×1020)=9.9×10−14 J $\frac{h\nu_0}{c^2} = \frac{9.9 \times 10^{-14}}{9.0 \times 10^{16}} = 1.1 \times 10^{-30} \text{ kg}$c2hν0​​=9.0×10169.9×10−14​=1.1×10−30 kg よって、$M_B$MB​ は次のように求まります。 $M_B = 331998.9 \times 10^{-30} + 1.1 \times 10^{-30} = 332000.0 \times 10^{-30} \text{ kg} = 3.32 \times 10^{-25} \text{ kg}$MB​=331998.9×10−30+1.1×10−30=332000.0×10−30 kg=3.32×10−25 kg

3. ドップラー効果による原子核Bの反跳速度 $v_B$vB​ の導出

原子核Bは速さ $v_B$vB​ で観測者（検出器）に向かって運動しながら $\gamma$γ 線を放出しています。 光のドップラー効果の近似式を用います。 $\nu = \nu_0 \left(1 + \frac{v_B}{c}\right)$ν=ν0​(1+cvB​​) これを $v_B$vB​ について解きます。 $\frac{v_B}{c} = \frac{\nu}{\nu_0} - 1$cvB​​=ν0​ν​−1 $v_B = c \left( \frac{\nu}{\nu_0} - 1 \right)$vB​=c(ν0​ν​−1) 与えられた数値を代入します。 $\frac{\nu}{\nu_0} - 1 = \frac{1.5015 \times 10^{20}}{1.5 \times 10^{20}} - 1 = 1.001 - 1 = 0.001$ν0​ν​−1=1.5×10201.5015×1020​−1=1.001−1=0.001 $v_B = (3.0 \times 10^8) \times 0.001 = 3.0 \times 10^5 \text{ m/s}$vB​=(3.0×108)×0.001=3.0×105 m/s

4. $\alpha$α 崩壊における運動量保存則と $v_\alpha$vα​ の導出

静止していた原子核Aが分裂し、$\alpha$α 粒子と原子核Bが反対方向に飛び出します。 古典力学における運動量保存則より、以下の式が成り立ちます。 $m_\alpha v_\alpha = M_B v_B$mα​vα​=MB​vB​ これを $v_\alpha$vα​ について解きます。 $v_\alpha = \frac{M_B}{m_\alpha} v_B$vα​=mα​MB​​vB​ 求めた $M_B$MB​ と $v_B$vB​、および与えられた $m_\alpha$mα​ を代入します。 $v_\alpha = \frac{3.32 \times 10^{-25}}{6.64 \times 10^{-27}} \times (3.0 \times 10^5)$vα​=6.64×10−273.32×10−25​×(3.0×105) 質量比を計算すると、 $\frac{3.32 \times 10^{-25}}{6.64 \times 10^{-27}} = \frac{332}{6.64} = 50$6.64×10−273.32×10−25​=6.64332​=50 となります。したがって、 $v_\alpha = 50 \times 3.0 \times 10^5 = 150 \times 10^5 = 1.5 \times 10^7 \text{ m/s} = 15000000 \text{ m/s}$vα​=50×3.0×105=150×105=1.5×107 m/s=15000000 m/s

入力形式の指示に従い、この値を $1000$1000 で割ります。 $\frac{15000000}{1000} = 15000$100015000000​=15000 求める自然数は 15000 となります。