GBO001 問題5

解説

本問は、力が一定ではない（圧力が体積変化に伴って一次関数的に変化する）過程における、熱力学第一法則の適用を問う標準的かつ重要な問題です。ピストンにかかる力のつり合いと状態方程式を連立し、状態変化の全容を正確に立式していきます。

1. 初期状態の解析と体積 $V_0$V0​ の導出

まず、初期状態（ばねが自然長の状態）での気体の圧力 $P_{in}$Pin​ を求めます。 ピストンには、下向きに大気圧による力 $P_0 S$P0​S と重力 $Mg$Mg が働き、上向きに気体の圧力による力 $P_{in} S$Pin​S が働きます。ばねは自然長であるため、弾性力はゼロです。力のつり合いより、

$$P_{in} S = P_0 S + Mg$$Pin​S=P0​S+Mg

よって、初期の気体の圧力 $P_{in}$Pin​ は以下のように表せます。

$$P_{in} = P_0 + \frac{Mg}{S}$$Pin​=P0​+SMg​

この状態において理想気体の状態方程式 $P_{in} V_0 = n R T_0$Pin​V0​=nRT0​ が成立するため、初期体積 $V_0$V0​ は次のように決まります。

$$V_0 = \frac{n R T_0}{P_{in}} = \frac{n R T_0}{P_0 + \frac{Mg}{S}}$$V0​=Pin​nRT0​​=P0​+SMg​nRT0​​

2. 加熱後の状態と到達温度 $T_1$T1​ の導出

体積が $2V_0$2V0​ になったとき、ピストンが初期位置から上昇した距離を $y$y とすると、$S y = 2V_0 - V_0 = V_0$Sy=2V0​−V0​=V0​ より、ピストンの変位は $y = \frac{V_0}{S}$y=SV0​​ となります。 このとき、ばねは自然長から $y$y だけ伸びているため、下向きに弾性力 $ky$ky が働きます。 加熱後の気体の圧力を $P_{out}$Pout​ とすると、力のつり合いは以下のようになります。

$$P_{out} S = P_0 S + Mg + ky$$Pout​S=P0​S+Mg+ky

両辺を $S$S で割り、$y = \frac{V_0}{S}$y=SV0​​ を代入すると、

$$P_{out} = P_0 + \frac{Mg}{S} + \frac{k V_0}{S^2} = P_{in} + \frac{k V_0}{S^2}$$Pout​=P0​+SMg​+S2kV0​​=Pin​+S2kV0​​

このときの気体の温度を $T_1$T1​ とします。体積は $2V_0$2V0​ であるため、状態方程式より以下が成り立ちます。

$$n R T_1 = P_{out} \cdot (2V_0) = 2 \left( P_{in} + \frac{k V_0}{S^2} \right) V_0 = 2 P_{in} V_0 + \frac{2 k V_0^2}{S^2}$$nRT1​=Pout​⋅(2V0​)=2(Pin​+S2kV0​​)V0​=2Pin​V0​+S22kV02​​

ここで、$P_{in} V_0 = n R T_0$Pin​V0​=nRT0​ を代入すると、

$$n R T_1 = 2 n R T_0 + \frac{2 k V_0^2}{S^2}$$nRT1​=2nRT0​+S22kV02​​

温度 $T_1$T1​ は次のように求まります。

$$T_1 = 2 T_0 + \frac{2 k V_0^2}{n R S^2}$$T1​=2T0​+nRS22kV02​​

3. 気体がした仕事 $W$W と内部エネルギーの変化 $\Delta U$ΔU

気体の圧力 $P$P は体積 $V$V に対して一次関数的に増加します。したがって、気体が外部にした仕事 $W$W は $P-V$P−V グラフ上の台形の面積として計算できます。

$$W = \frac{1}{2} (P_{in} + P_{out}) \times (2V_0 - V_0)$$W=21​(Pin​+Pout​)×(2V0​−V0​)

$P_{out} = P_{in} + \frac{k V_0}{S^2}$Pout​=Pin​+S2kV0​​ を代入して整理します。

$$W = \frac{1}{2} \left( 2P_{in} + \frac{k V_0}{S^2} \right) V_0 = P_{in} V_0 + \frac{k V_0^2}{2 S^2} = n R T_0 + \frac{k V_0^2}{2 S^2}$$W=21​(2Pin​+S2kV0​​)V0​=Pin​V0​+2S2kV02​​=nRT0​+2S2kV02​​

次に、単原子分子理想気体の内部エネルギーの変化 $\Delta U$ΔU を求めます。

$$\Delta U = \frac{3}{2} n R (T_1 - T_0)$$ΔU=23​nR(T1​−T0​)

先ほど求めた $n R T_1$nRT1​ の式を用いると、

$$\Delta U = \frac{3}{2} \left( 2 n R T_0 + \frac{2 k V_0^2}{S^2} - n R T_0 \right) = \frac{3}{2} n R T_0 + \frac{3 k V_0^2}{S^2}$$ΔU=23​(2nRT0​+S22kV02​​−nRT0​)=23​nRT0​+S23kV02​​

4. 総熱量 $Q$Q の算出と数値代入

熱力学第一法則 $Q = \Delta U + W$Q=ΔU+W より、与えられた熱量 $Q$Q は以下の通りとなります。

$$Q = \left( \frac{3}{2} n R T_0 + \frac{3 k V_0^2}{S^2} \right) + \left( n R T_0 + \frac{k V_0^2}{2 S^2} \right) = \frac{5}{2} n R T_0 + \frac{7 k V_0^2}{2 S^2}$$Q=(23​nRT0​+S23kV02​​)+(nRT0​+2S2kV02​​)=25​nRT0​+2S27kV02​​

最後に、与えられた制約の数値を代入して値を求めます。 まず、初期状態に関する項 $n R T_0$nRT0​ を計算します。

$$n R T_0 = 0.20 \times 8.30 \times 300 = 498 \text{ J}$$nRT0​=0.20×8.30×300=498 J

次に初期圧力 $P_{in}$Pin​ を計算します。

$$\frac{Mg}{S} = \frac{25.0 \times 9.80}{1.00 \times 10^{-2}} = \frac{245}{0.01} = 24500 \text{ Pa}$$SMg​=1.00×10−225.0×9.80​=0.01245​=24500 Pa $$P_{in} = 100000 + 24500 = 124500 \text{ Pa}$$Pin​=100000+24500=124500 Pa

これより、初期体積 $V_0$V0​ を求めます。

$$V_0 = \frac{n R T_0}{P_{in}} = \frac{498}{124500} = 0.00400 \text{ m}^3$$V0​=Pin​nRT0​​=124500498​=0.00400 m3

ばねによるエネルギー増分の係数となる $\frac{V_0^2}{S^2}$S2V02​​ を計算します。

$$\frac{V_0}{S} = \frac{0.00400}{0.0100} = 0.400 \text{ m}$$SV0​​=0.01000.00400​=0.400 m $$\frac{V_0^2}{S^2} = (0.400)^2 = 0.160 \text{ m}^2$$S2V02​​=(0.400)2=0.160 m2

すべての値を $Q$Q の式に代入します。

$$Q = \frac{5}{2} (498) + \frac{7}{2} (1.00 \times 10^3) (0.160)$$Q=25​(498)+27​(1.00×103)(0.160) $$Q = 1245 + 3.5 \times 160 = 1245 + 560 = 1805 \text{ J}$$Q=1245+3.5×160=1245+560=1805 J

計算の過程で無理数や端数は一切発生せず、厳密に $1805$1805 という自然数が導き出されます。

解答: 1805