への字フレームを支える磁気サスペンションの限界衝撃速度

問題文

自転車を側面から見た平面内だけを考え、前向きを $X$X 軸正方向、鉛直上向きを $Z$Z 軸正方向とする。

上図のように、乗員・サドル・上部フレームのうちサスペンションによって支持される部分を、質量 $m$m の一つの剛体として扱う。剛体の下部には、点 $A$A を頂点とし、点 $R$R と点 $F$F を両端とする左右対称な「への字」形の部分がある。重心 $G$G と点 $A$A は同じ鉛直線上にある。

後輪側では点 $R$R の近くに、前輪側では点 $F$F の近くに、それぞれ同極を向かい合わせた一組のネオジム磁石を取り付ける。各組の上側磁石は上部剛体に、下側磁石は車輪側の下部フレームに固定されている。

後輪側の磁石面に垂直で上向き成分をもつ単位ベクトルを

$$\boldsymbol e_{\mathrm R}=(a,b)$$eR​=(a,b)

とし、前輪側では

$$\boldsymbol e_{\mathrm F}=(-a,b)$$eF​=(−a,b)

とする。ただし、

$$a>0,\qquad b>0,\qquad a^2+b^2=1$$a>0,b>0,a2+b2=1

である。

磁石面の法線方向は、それぞれ直線 $RA$RA、$FA$FA と平行である。したがって、上部剛体が受ける磁気反発力も、それぞれ $\boldsymbol e_{\mathrm R}$eR​、$\boldsymbol e_{\mathrm F}$eF​ の方向に働く。

各磁気ユニットについて、向かい合う磁石面の法線方向の間隔を、それぞれ $x_{\mathrm R}$xR​、$x_{\mathrm F}$xF​ とする。

考える運動範囲では、磁石面は十分に広く、鉛直運動に伴う磁石どうしの接線方向のずれが反発力に及ぼす影響を無視できるものとする。また、磁気力の接線方向成分も無視できるものとする。

前後の磁気ユニットは同一であり、法線方向の間隔が $x$x のとき、上部剛体に及ぼす反発力の大きさは

$$F_{\mathrm m}(x)=\frac{C}{x^4}$$Fm​(x)=x4C​

で表されるものとする。ただし、$C$C は正の定数である。

この磁気力に対応する各磁気ユニットの位置エネルギーを

$$U_{\mathrm m}(x)=\frac{C}{3x^3}$$Um​(x)=3x3C​

とする。

自転車が静止しているとき、前後の磁石間隔はともに $x_0$x0​ であり、上部剛体は並進・回転ともに静止している。

ここで段差から受ける短時間の衝撃を、次のようにモデル化する。衝撃直後から最初に最大圧縮へ達するまで、車輪側の下部フレームの位置は変化しないものとする。上部剛体は静止位置において突然、鉛直下向きの速さ $v$v を得る。衝撃直後の水平方向の速度および角速度はともに $0$0 である。

装置の形状、二つの磁気ユニットおよび初期条件は鉛直な対称軸について左右対称である。

空気抵抗、機械的摩擦、磁石やフレームの変形によるエネルギー損失、渦電流による制動はすべて無視する。

各磁気ユニットの間隔が $x_{\mathrm s}$xs​ に達すると安全ストッパーが作動する。

上部剛体に与える鉛直下向きの初速度を徐々に大きくしていったとき、最初の最大圧縮でちょうど

$$x_{\mathrm R}=x_{\mathrm F}=x_{\mathrm s}$$xR​=xF​=xs​

となる初速度を限界衝撃速度 $v_{\mathrm c}$vc​ とする。

制約

• $b=0.800$b=0.800
• $x_0=0.0500\,\mathrm{m}$x0​=0.0500m
• $x_{\mathrm s}=0.0400\,\mathrm{m}$xs​=0.0400m

入力形式

無次元量

$$\frac{v_{\mathrm c}^2}{gx_0}$$gx0​vc2​​

を既約分数

$$\frac{p}{q}$$qp​

と表す。

$p+q$p+q を自然数として入力せよ。