電磁誘導による回路の応答と運動方程式の統合解析

問題文

鉛直下向きに磁束密度の大きさ $B$B の一様な磁場が存在する空間に、間隔 $L$L の2本のアングルをもつ水平で滑らかな平行導体レールが固定されている。レールの左端は抵抗値 $R$R の抵抗を介して接続されており、右端は開いている。

レール上に、質量 $m$m、長さ $L$L の導体棒をレールと垂直に渡して置く。導体棒とレールの電気抵抗、および回路の自己インダクタンスは無視できる。時刻 $t=0$t=0 において、導体棒にレールと平行かつ右向きの初速度 $v_0$v0​ を与えたところ、導体棒は磁場から運動を妨げる向きに力を受けながら減速した。

導体棒が静止するまでの間に抵抗から発生する全ジュール熱を $Q$Q とし、導体棒が移動した全距離を $x$x とする。

無次元比 $\frac{Q}{m v_0^2}$mv02​Q​ を $X$X とし、次元をもつ比 $\frac{B L x}{m v_0 / R}$mv0​/RBLx​ を $Y$Y とする。

無次元比 $X$X および量 $Y$Y （単位：$\Omega\cdot\text{T}\cdot\text{m/N} = \Omega\cdot\text{s/Wb}$Ω⋅T⋅m/N=Ω⋅s/Wb）をそれぞれ求め、$X + Y$X+Y の値を数値として計算し、既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ （$p, q$p,q は互いに素な自然数）で表すとき、$p+q$p+q の値を求めよ。

制約

• $m = 0.20 \text{ kg}$m=0.20 kg
• $L = 0.50 \text{ m}$L=0.50 m
• $B = 0.80 \text{ T}$B=0.80 T
• $R = 2.0 \ \Omega$R=2.0 Ω
• $v_0 = 3.0 \text{ m/s}$v0​=3.0 m/s

入力形式

和 $X + Y$X+Y を既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ で表したときの分子と分母の和 $p+q$p+q の自然数値。