皮膚に貼る無電池ハプティック・パッチ

問題文

皮膚に柔らかく貼り付き、振動によって触覚情報を伝える無電池のハプティック・パッチを考える。パッチは、外部の送電コイルがつくる交流磁場から電力を受け取る。

送電側は、理想交流電源、送電側の損失をまとめて表す抵抗 $R_1$R1​、自己インダクタンス $L_1$L1​ のコイル、コンデンサー $C_1$C1​ をすべて直列に接続した回路である。交流電源の実効値を $U$U とし、負荷を変化させても $U$U は一定に保たれる。

受電側は、自己インダクタンス $L_2$L2​、巻線抵抗 $r$r をもつ柔軟なコイル、調整可能なコンデンサー $C_2$C2​、可変負荷抵抗 $R_L$RL​ をすべて直列に接続した回路である。$R_L>0$RL​>0 とする。

実際のパッチに含まれる整流回路、電源管理回路、振動を発生させるアクチュエーターなどは、本問では交流側から見た純抵抗 $R_L$RL​ に置き換える。

送電側と受電側の間に導線による接続はない。二つのコイルの相互インダクタンスを $M$M とする。角振動数 $\omega$ω の正弦波電流の実効値が一方のコイルで $I$I であるとき、他方のコイルに生じる相互誘導起電力の実効値の大きさは $\omega MI$ωMI である。

交流電源の角振動数は、

$$\omega_0L_1=\frac{1}{\omega_0C_1}$$ω0​L1​=ω0​C1​1​

を満たす値 $\omega_0$ω0​ に固定されている。

動作前に $C_2$C2​ を調整し、受電側についても、

$$\omega_0L_2=\frac{1}{\omega_0C_2}$$ω0​L2​=ω0​C2​1​

となるようにする。

その後、実験者は負荷抵抗 $R_L$RL​ を次の二つの方針のいずれかで選ぶ。

一方では、負荷抵抗 $R_L$RL​ で消費される平均電力 $P_L$PL​ が最大になるように $R_L$RL​ を選ぶ。この抵抗値を $R_P$RP​ とする。

他方では、理想交流電源が送電側回路へ供給する平均有効電力を $P_{\mathrm{in}}$Pin​ とし、

$$\eta=\frac{P_L}{P_{\mathrm{in}}}$$η=Pin​PL​​

で定義される電力伝送効率が最大になるように $R_L$RL​ を選ぶ。この抵抗値を $R_\eta$Rη​ とする。

放射損失、寄生容量、誘電損失は無視し、コンデンサーは理想素子とする。パッチの変形による $L_2,r,M$L2​,r,M の変化も無視し、$L_1,L_2,R_1,r,M$L1​,L2​,R1​,r,M は動作中一定とする。

制約

• $L_1=4\,\mathrm{\mu H}$L1​=4μH
• $C_1=250\,\mathrm{nF}$C1​=250nF
• $R_1=800\,\mathrm{m\Omega}$R1​=800mΩ
• $L_2=5\,\mathrm{\mu H}$L2​=5μH
• $r=500\,\mathrm{m\Omega}$r=500mΩ
• $M=800\,\mathrm{nH}$M=800nH

入力形式

受電側を共振させる容量について、

$$\frac{C_2}{C_1}=\frac{a}{b}$$C1​C2​​=ba​

とする。

また、二つの方針で選ばれる抵抗について、

$$\left(\frac{R_\eta}{R_P}\right)^2=\frac{c}{d}$$(RP​Rη​​)2=dc​

とする。

それぞれを既約分数とし、$a,b,c,d$a,b,c,d は正の自然数とする。

$a+b+c+d$a+b+c+d を入力せよ。