ばね付き質量端が自由端へ変わる角振動数

問題文

線密度 $\rho$ρ、張力 $S$S の一様な弦が $x<0$x<0 の領域に存在し、原点で質量 $m$m の小環に結ばれている。小環は $y$y 軸に沿ったガイド上を摩擦なく動く。重力と空気抵抗は無視する。

弦の変位を $y(x,t)$y(x,t) とする。微小変位の範囲では、小環が弦から受ける力の $y$y 成分は、

$$-S\frac{\partial y}{\partial x}(0,t)$$−S∂x∂y​(0,t)

と近似できるものとする。

小環にはさらに、ばね定数 $K$K の軽いばねが取り付けられている。小環が原点から $y$y 方向に変位すると、ばねは小環を原点へ戻す向きに復元力を及ぼす。

$x<0$x<0 から角振動数 $\omega$ω の正弦波を入射させ、十分時間が経過した後の定常的な振動を考える。

ある角振動数 $\omega_0$ω0​ では、小環の振動振幅が $0$0 ではないにもかかわらず、

$$\frac{\partial y}{\partial x}(0,t)=0$$∂x∂y​(0,t)=0

がすべての時刻で成立し、弦から見ると境界が完全な自由端として振る舞った。

この角振動数 $\omega_0$ω0​ を $m$m と $K$K を用いて求めよ。

さらに、比較のために与えられた角振動数 $\Omega$Ω に対して、

$$R=\frac{\omega_0^2}{\Omega^2}$$R=Ω2ω02​​

を求める。$R$R を既約分数 $p/q$p/q と表す。

制約

• $m=1.60\times10^{-2}\,\mathrm{kg}$m=1.60×10−2kg
• $K=180\,\mathrm{N/m}$K=180N/m
• $\Omega=120\,\mathrm{rad/s}$Ω=120rad/s

入力形式

$p+q$p+q を自然数で入力せよ。