拘束を変える熱弾性変態

問題文

1 mol の熱弾性物質を考える。この物質には、分子構造の異なる状態 $\alpha,\beta$α,β があり、全体のうち状態 $\beta$β にある割合を $x$x とする。したがって、

$$0\le x\le 1$$0≤x≤1

である。

この物質の温度を $T$T、体積を $V$V とする。熱平衡状態におけるヘルムホルツの自由エネルギーが、

$$F(T,V,x) = F_0(T) + \frac{A}{2}x^2 - \Delta S(T-T_0)x + \frac{K}{2V_0} \left[ V-V_0(1+\lambda x) \right]^2$$F(T,V,x)=F0​(T)+2A​x2−ΔS(T−T0​)x+2V0​K​[V−V0​(1+λx)]2

で与えられるものとする。ここで、$F_0(T)$F0​(T) は $x,V$x,V に依存しない関数である。

$\beta$β の割合 $x$x が増えると、この物質が外力を受けないときに自然にとろうとする体積は $V_0(1+\lambda x)$V0​(1+λx) となる。最後の項は、実際の体積がこの値からずれたことによる弾性エネルギーを表している。

同じ物質からなる2つの試料 H, G を用意し、いずれも同じ温度 $T$T の十分大きな熱浴と接触させる。物質の量は変化せず、表面効果、重力、運動エネルギーは無視できるものとする。また、$x$x は熱平衡に達するまで自由に変化できるものとする。

試料 H は剛体容器に入れ、体積を常に

$$V=V_0$$V=V0​

に固定する。

一方、試料 G は摩擦のないピストン付き容器に入れる。ピストンの外側には一定の圧力 $p$p が加えられており、試料 G の体積は自由に変化できる。熱平衡では試料の圧力と外圧 $p$p が等しくなるものとする。

試料 H の平衡状態における $\beta$β の割合を $x_H$xH​、試料 G の平衡状態における $\beta$β の割合を $x_G$xG​ とする。

必要なら、温度と体積を一定に保つ系ではヘルムホルツの自由エネルギー $F$F が平衡状態で最小となり、温度と圧力を一定に保つ系ではギブスの自由エネルギー

$$G=F+pV$$G=F+pV

が平衡状態で最小となることを用いてよい。

数値条件のもとで $x_H,x_G$xH​,xG​ がともに $0<x<1$0<x<1 の範囲にあることを確認したうえで、

$$\frac{x_H}{x_G}=\frac{a}{b}$$xG​xH​​=ba​

を既約分数で表せ。

制約

• $T_0=300\,\mathrm{K}$T0​=300K
• $T=380\,\mathrm{K}$T=380K
• $A=1.20\times10^3\,\mathrm{J}$A=1.20×103J
• $\Delta S=10.0\,\mathrm{J/K}$ΔS=10.0J/K
• $K=2.00\times10^8\,\mathrm{Pa}$K=2.00×108Pa
• $V_0=1.00\times10^{-5}\,\mathrm{m^3}$V0​=1.00×10−5m3
• $\lambda=0.200$λ=0.200
• $p=5.00\times10^7\,\mathrm{Pa}$p=5.00×107Pa

入力形式

$\dfrac{x_H}{x_G}=\dfrac{a}{b}$xG​xH​​=ba​ を既約分数で表したとき、互いに素な自然数 $a,b$a,b に対して $a+b$a+b を入力する。