深宇宙分光器が残した5個の光子

問題文

深宇宙探査機が、非常に希薄な水素ガスから生じる発光を観測している。

探査機の分光器は、1個の水素原子から短い時間間隔で続けて放出された光子を同一の「発光イベント」として識別し、それぞれが何番目に放出された光子であるかを記録できる。

ある発光イベントでは、1個の水素原子が主量子数 $n=9$n=9 の定常状態から出発し、より低いエネルギー準位への遷移を繰り返した後、基底状態 $n=1$n=1 に到達した。この間に放出された光子は、ちょうど5個であった。

5個の光子を放出された順に光子1、光子2、$\ldots$…、光子5とする。

観測装置には、通常の分光器とは別に、スペクトル系列を識別するためのフィルターが搭載されている。このフィルターでは、遷移後の主量子数が $n=5$n=5 であるスペクトル線を「プント系列」として識別する。

観測記録を調べたところ、次のことが分かった。

• 光子1の波長は $11.31\,\mathrm{\mu m}$11.31μm であった。
• 光子2については波長データが失われていたが、系列識別フィルターによりプント系列であることだけは分かった。
• 光子3については波長データも系列データも失われていた。
• 光子4の波長は $656.3\,\mathrm{nm}$656.3nm であった。
• 光子5については波長データが失われていた。
• 各光子が放出されるたびに、水素原子は放出前より小さい主量子数の定常状態へ遷移した。
• この発光イベント中、水素原子のエネルギー変化は光子の放出だけによって生じた。

以上の情報から、水素原子が $n=9$n=9 から $n=1$n=1 に到達するまでにたどったエネルギー準位を特定せよ。

さらに、5個の光子のうち、エネルギーが最大の光子のエネルギーを $E_{\max}$Emax​、エネルギーが最小の光子のエネルギーを $E_{\min}$Emin​ とする。

比

$$\frac{E_{\max}}{E_{\min}}$$Emin​Emax​​

を求めよ。

制約

• 水素原子のリュードベリ定数： $R=1.097\times10^7\,\mathrm{m^{-1}}$R=1.097×107m−1
• 必要に応じて、光子のエネルギーと波長の関係 $E=hc/\lambda$E=hc/λ を用いてよい。
• 観測された波長については、表示された桁の範囲でリュードベリの式による計算結果と一致するものとする。
• 主量子数は自然数である。
• 導出の途中では観測波長を丸めてエネルギー比を計算せず、エネルギー準位間の関係を用いるものとする。

入力形式

$$\frac{E_{\max}}{E_{\min}}=\frac{p}{q}$$Emin​Emax​​=qp​

と既約分数で表したとき、自然数 $p+q$p+q を入力せよ。