ガウス加速器

問題文

半径$a$aの球形永久磁石1個と、同じく半径$a$a、質量$m$mの鉄球1個、真鍮球1個を用意する。真空中の水平面上に直線状のレールを固定し、その上のある位置に永久磁石を固定した。鉄球と真鍮球はレールに沿った方向にのみ運動でき、レールの摩擦や球の回転は無視する。レールに沿って$x$x軸を設定し、永久磁石の中心位置を$x=0$x=0とする。次に真鍮球の中心位置を$x=2a$x=2aに置いて永久磁石と接触させた（固定はされていない）。最後に鉄球を$x<0$x<0の非常に遠方から無視できるほど小さい初速度で永久磁石に向かって入射させると、鉄球は加速されて速さ$v$vで永久磁石に衝突し、その衝撃がエネルギー損失なく真鍮球に伝わり、鉄球は$x=-2a$x=−2aで静止し、真鍮球が速さ$v$vで射出された。速さ$v$vを求めよ。

ただし、永久磁石が位置$\vec{r}$rに作る磁束密度$\vec{B}(\vec{r})$B(r)は、原点に固定された、$x$x軸正の向きを向く磁気モーメントの大きさ$p$pの点状双極子$\vec{p}$p​のものと等価とみなせて、

$$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{3(\vec{p}\cdot\vec{r})\vec{r}}{|\vec{r}|^5} - \frac{\vec{p}}{|\vec{r}|^3} \right)$$B(r)=4πμ0​​(∣r∣53(p​⋅r)r​−∣r∣3p​​)

とする。

また、真鍮球の比透磁率は$1$1とし、鉄球の比透磁率は無限大の極限として扱い、鉄球の磁化はヒステリシスを持たないとする。

ヒント：異なる2物質の境界面では、磁束密度$\vec{B}$Bの法線成分と磁場$\vec{H}$Hの接線成分がそれぞれ連続になる。また、任意の閉曲面を貫く磁束密度の全磁束は$0$0である。

制約

特になし。ファイトです！

入力形式

鉄球の中心が位置$x$xにあるときの、鉄球と永久磁石の磁気的な相互作用ポテンシャルエネルギーを$U(x)$U(x)とし、$U(-\infty)=0$U(−∞)=0とする。

互いに素な自然数$M,N$M,Nを用いて、

$$v^2 = \frac{-2U(-2a)}{m} = \frac{M\mu_0p^2}{N\pi a^3m}$$v2=m−2U(−2a)​=Nπa3mMμ0​p2​

と表せるので、和$M+N$M+Nを入力せよ。