偏心円孔をもつ剛体円板の重心まわりにおける主慣性モーメントの決定

問題文

一様な面密度 $\sigma$σ をもつ薄い剛体板が $xy$xy 平面内に静止している。まず、原点 $O$O を中心とする半径 $R$R の円板を考える。この円板から、中心 $A$A の位置ベクトルが

$$\overrightarrow{OA}=u\mathbf{e}_x+v\mathbf{e}_y$$OA=uex​+vey​

である半径 $r$r の円板部分を完全にくり抜く。くり抜かれた部分には質量がない。板の厚さは無視でき、残った板は一体の剛体として扱える。条件 $r+\sqrt{u^2+v^2}<R$r+u2+v2​<R は満たされている。

残った板の重心を $G$G とする。$G$G を通り、板の面内にあるすべての直線を回転軸の候補とする。ただし、板に垂直な軸は候補に含めない。この候補の中で、軸まわりの慣性モーメントが最大となる値を $I_{\max}$Imax​、最小となる値を $I_{\min}$Imin​ とする。

円板の板に垂直な中心軸まわりの慣性モーメント、直交軸の定理、平行軸の定理を用いて、比

$$\frac{I_{\max}}{I_{\min}}$$Imin​Imax​​

を求めよ。

制約

• $R=10.0\,\mathrm{m}$R=10.0m
• $r=6.00\,\mathrm{m}$r=6.00m
• $u=1.20\,\mathrm{m}$u=1.20m
• $v=1.60\,\mathrm{m}$v=1.60m
• $\sigma=15.0\,\mathrm{kg/m^2}$σ=15.0kg/m2

入力形式

$\dfrac{I_{\max}}{I_{\min}}$Imin​Imax​​ を既約分数 $\dfrac{p}{q}$qp​ で表す。入力すべき自然数は $p+q$p+q とする。