サイクロトロン共鳴状態における荷電粒子の強制振動と運動エネルギー

問題文

無限に広がる真空の空間において、$xy$xy 平面に平行に運動する質量 $m$m、電気量 $q$q ($q > 0$q>0) の荷電粒子を考える。この空間には、恒に一定で一質な磁場 $\boldsymbol{B} = (0, 0, B)$B=(0,0,B) （$B > 0$B>0）が $z$z 軸の正の向きにかけられている。また、時刻 $t \ge 0$t≥0 において、時間的に変化する一質な電場 $\boldsymbol{E} = (0, E_0 \sin(\omega t), 0)$E=(0,E0​sin(ωt),0) （$E_0 > 0$E0​>0）が $y$y 軸方向にかけられている。ここで、角振動数 $\omega$ω は粒子のサイクロトロン角振動数 $\omega_c = \frac{qB}{m}$ωc​=mqB​ と厳密に一致しており、共鳴状態にあるものとする。

時刻 $t = 0$t=0 において、この荷電粒子は原点 $(0,0,0)$(0,0,0) に静止していた。粒子の速度ベクトルを $\boldsymbol{v}(t) = (v_x(t), v_y(t), 0)$v(t)=(vx​(t),vy​(t),0) とし、運動方程式を組み立てて速度の各成分の時間変化を求めよ。さらに、時刻 $t = 0$t=0 から数えてサイクロトロン運動の 5 周期分に相当する時間が経過した時刻 $t = \frac{10\pi}{\omega_c}$t=ωc​10π​ における、この荷電粒子の運動エネルギー $K$K を求めよ。

なお、粒子による電磁波の放射や、相対論的効果はすべて無視できるものとする。

制約

• $m = 4.00 \times 10^{-2} \text{ kg}$m=4.00×10−2 kg
• $q = 6.00 \times 10^{-2} \text{ C}$q=6.00×10−2 C
• $B = 2.00 \text{ T}$B=2.00 T
• $E_0 = 4000 \text{ V/m}$E0​=4000 V/m

入力形式

時刻 $t = \frac{10\pi}{\omega_c}$t=ωc​10π​ における粒子の運動エネルギー $K \text{ [J]}$K [J] は、円周率 $\pi$π を用いて $K = A \pi^2$K=Aπ2 と表される。このときの係数 $A$A の値を求め、その値を表す自然数を入力せよ。