順逆拡散過程における画素相関の初期エネルギー変化率

問題文

スマートフォンで撮影した夜景写真から、隣接する二つの画素を取り出す。各画素の平均輝度からのずれを成分とする無次元ベクトルを $\boldsymbol{X}_t\in\mathbb{R}^2$Xt​∈R2 とする。

撮影直後の画素ベクトル $\boldsymbol{X}_0$X0​ は、平均 $\boldsymbol{0}$0、共分散行列 $\boldsymbol{\Sigma}_0$Σ0​ の正規分布に従う。画像へ人工的にノイズを加える前向き拡散過程は、伊藤確率微分方程式

$$d\boldsymbol{X}_t = -\frac{\beta}{2}\boldsymbol{X}_t\,dt + \sqrt{\beta}\,d\boldsymbol{W}_t$$dXt​=−2β​Xt​dt+β​dWt​

に従う。ここで、$\boldsymbol{W}_t$Wt​ の二成分は独立な標準ウィーナー過程であり、$\boldsymbol{X}_0$X0​ と $\boldsymbol{W}_t$Wt​ は独立である。

時刻 $t_*$t∗​ までノイズを加えた画像から、正確な確率密度を用いて時間を逆向きに進める。逆向きの時間を $\tau=t_*-t$τ=t∗​−t、逆拡散中の画素ベクトルを

$$\boldsymbol{Y}_\tau=\boldsymbol{X}_{t_*-\tau}$$Yτ​=Xt∗​−τ​

とする。

前向き過程の時刻 $t$t における確率密度を $\rho_t(\boldsymbol{x})$ρt​(x) とすると、逆拡散過程は

$$d\boldsymbol{Y}_\tau = \left[ \frac{\beta}{2}\boldsymbol{Y}_\tau + \beta\nabla_{\boldsymbol{y}} \log\rho_{t_*-\tau}(\boldsymbol{Y}_\tau) \right]d\tau + \sqrt{\beta}\,d\overline{\boldsymbol{W}}_\tau$$dYτ​=[2β​Yτ​+β∇y​logρt∗​−τ​(Yτ​)]dτ+β​dWτ​

に従うものとする。

逆拡散開始時の画素ベクトルのノルムを $3$3 に固定する。すなわち、$\|\boldsymbol{y}\|=3$∥y∥=3 を満たす各初期状態 $\boldsymbol{y}$y から逆拡散過程を開始する。

画素偏差エネルギーを

$$R(\boldsymbol{y})=y_1^2+y_2^2$$R(y)=y12​+y22​

とする。$\boldsymbol{Y}_0=\boldsymbol{y}$Y0​=y から開始した逆拡散過程に関する期待値を $\mathbb{E}_{\boldsymbol{y}}$Ey​ と表し、逆拡散を開始した直後の微小時間 $\Delta\tau$Δτ における期待値の変化率を

$$G(\boldsymbol{y}) = \lim_{\Delta\tau\to+0} \frac{ \mathbb{E}_{\boldsymbol{y}} \left[ R(\boldsymbol{Y}_{\Delta\tau}) \right] - R(\boldsymbol{y}) }{ \Delta\tau }$$G(y)=Δτ→+0lim​ΔτEy​[R(YΔτ​)]−R(y)​

と定義する。

$\|\boldsymbol{y}\|=3$∥y∥=3 を満たす画素ベクトルのうち、$G(\boldsymbol{y})$G(y) を最大にするものを $\boldsymbol{y}_{\max}$ymax​、最小にするものを $\boldsymbol{y}_{\min}$ymin​ とする。ただし、各ベクトルは第1成分が正となる向きを選ぶ。

次の無次元比を求めよ。

$$\frac{ G(\boldsymbol{y}_{\max}) }{ \left|G(\boldsymbol{y}_{\min})\right| }$$∣G(ymin​)∣G(ymax​)​

制約

• $\beta=16.0\,\mathrm{s^{-1}}$β=16.0s−1
• $t_*=\dfrac{\ln 16}{16.0}\,\mathrm{s}$t∗​=16.0ln16​s
• $\displaystyle \boldsymbol{\Sigma}_0= \begin{pmatrix} 41&40\\ 40&41 \end{pmatrix}$Σ0​=(4140​4041​)

入力形式

求めた比を既約分数 $\dfrac{p}{q}$qp​ と表す。入力すべき自然数は $10p+q$10p+q である。