完全透過する二重不純物

問題文

無限に長い一次元結晶格子を考える。格子点には整数 $n\in\mathbb{Z}$n∈Z を割り当て、各格子点に局在した電子状態 $|n\rangle$∣n⟩ は正規直交基底をなす。

電子は隣接する格子点間のみを移動でき、そのホッピングエネルギーを $J>0$J>0 とする。

格子点 $n=0,2$n=0,2 には同一の不純物が存在し、それぞれの局所エネルギーは他の格子点より $V>0$V>0 だけ低い。

電子のハミルトニアンは

$$H=-J\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left(|n\rangle\langle n+1|+|n+1\rangle\langle n|\right) -V\left(|0\rangle\langle0|+|2\rangle\langle2|\right)$$H=−Jn=−∞∑∞​(∣n⟩⟨n+1∣+∣n+1⟩⟨n∣)−V(∣0⟩⟨0∣+∣2⟩⟨2∣)

である。

エネルギー $E$E をもつ定常散乱状態の各格子点における確率振幅を $a_n$an​ とする。

不純物の存在しない左右の領域では、電子が左側から入射する散乱状態を

$$a_n= \begin{cases} e^{ikn}+r(k)e^{-ikn} & (n\leq-1)\\ t(k)e^{ikn} & (n\geq3) \end{cases}$$an​={eikn+r(k)e−iknt(k)eikn​(n≤−1)(n≥3)​

とする。ただし、$0<k<\pi$0<k<π であり、

$$E=-2J\cos k$$E=−2Jcosk

が成り立つ。$r(k)$r(k)、$t(k)$t(k) はそれぞれ反射振幅と透過振幅である。

透過確率を

$$T(E)=|t(k)|^2$$T(E)=∣t(k)∣2

とする。

この系で、許容エネルギー帯域の内部において $T(E)=1$T(E)=1 となるエネルギーを $E_*$E∗​ とする。

完全透過の共鳴の鋭さを表す無次元量 $W$W を

$$W=\lim_{E\to E_*} \frac{T(E)^{-1}-1} {\left(\frac{E-E_*}{J}\right)^2}$$W=E→E∗​lim​(JE−E∗​​)2T(E)−1−1​

によって定義する。

$W$W を求めよ。

制約

• $J=0.18\,\mathrm{eV}$J=0.18eV
• $V=0.63\,\mathrm{eV}$V=0.63eV

入力形式

$W$W を既約分数

$$W=\frac{p}{q}$$W=qp​

で表す。ただし、$p,q$p,q は互いに素な正の整数とする。

$p+q$p+q の値を自然数で入力せよ。