重い人ほど坂道に強い？

問題文

ある人が自転車で一定の傾斜角 $\theta$θ の坂道を上ろうとしている。自転車本体の質量を $M$M、乗り手の質量を $m$m、後輪の半径を $R$R、ペダルのクランク長を $r$r とする。

立ち漕ぎでは、乗り手は体重を利用しながら筋力を発揮するため、ペダルに加えられる力の上限も体重に応じて増加すると考えられる。

そこで、立ち漕ぎ中にクランクの回転方向へ加えられる接線方向の有効な力を $F$F とし、その上限を

$$F_{\max}=\frac{1}{2}mg$$Fmax​=21​mg

とモデル化する。$F$F は $0$0 から $F_{\max}$Fmax​ まで自由に調節できるものとする。また、クランクの角速度 $\omega$ω には上限 $\omega_{\max}$ωmax​ があり、最大の力と最大角速度は同時に実現できるものとする。

自転車の変速比 $n$n を

$$n=\frac{\text{後輪の角速度}}{\text{クランクの角速度}}$$n=クランクの角速度後輪の角速度​

と定義する。変速比は正の実数の範囲で自由に選択でき、クランクの回転は変速機を介して後輪に伝えられるものとする。動力伝達によるエネルギー損失はない。

乗り手は、斜面を一定の速さ $v$v で上りたいと考えている。このとき、斜面下向きには重力の斜面方向成分に加えて、一定の大きさ $D$D の空気抵抗が働く。

両輪は常に路面に接して滑らずに転がり、路面との静止摩擦は十分大きいものとする。転がり抵抗やその他のエネルギー損失は無視できる。

適切な変速比を選ぶことで、指定された速さ $v$v で坂道を等速で上ることができる乗り手の最小質量 $m_{\min}$mmin​ を求めよ。

制約

• $M=14\,\mathrm{kg}$M=14kg
• $R=0.35\,\mathrm{m}$R=0.35m
• $r=0.17\,\mathrm{m}$r=0.17m
• $\sin\theta=0.13$sinθ=0.13
• $v=3\,\mathrm{m/s}$v=3m/s
• $\omega_{\max}=6\,\mathrm{rad/s}$ωmax​=6rad/s
• $D=10\,\mathrm{N}$D=10N
• $g=10\,\mathrm{m/s^2}$g=10m/s2

入力形式

最小質量 $m_{\min}$mmin​ を $\mathrm{kg}$kg 単位で表した数値の10倍を、自然数で入力せよ。