光速が極端に遅い世界における特急列車のウラシマ効果と運動量輸送

問題文

光速 $c$c が極端に遅い世界を考える。この世界では、静止している観測者から見て速度 $v$v で運動する物体の時間の進み方が、静止系の時間に対して $\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}$1−(cv​)2​ 倍になるという特殊相対性理論の効果が日常的に観測される。

ある直線軌道上を、静止系に対して一定の速度 $v$v で走り続ける全長 $L$L （固有長）の特急列車がある。列車の先頭（進行方向の前方）を点 $\text{A}$A、最後尾を点 $\text{B}$B とする。この列車の内部には、列車に対して静止した一様な「情報の伝播媒体」が満ちており、列車内の時計はすべて同期されている。

いま、列車の最後尾 $\text{B}$B にある光源から、列車の先頭 $\text{A}$A に向けて、列車内の媒体に対して速度 $c$c で進む光パルスを放射した。この光パルスが $\text{B}$B を出発した瞬間、列車内の時計が示す時刻を $t'_1 = 0$t1′​=0 とし、光パルスが先頭 $\text{A}$A に到達した瞬間に列車内の時計が示す時刻を $t'_2$t2′​ とする。

一方、線路脇の地面に静止している観測者（静止系）は、この現象をすべて観測している。静止系の観測者から見て、光パルスが $\text{B}$B を出発した瞬間の静止系時計の時刻を $t_1 = 0$t1​=0 とし、光パルスが $\text{A}$A に到達した瞬間の静止系時計の時刻を $t_2$t2​ とする。また、静止系から見た列車の速度 $v$v と光速 $c$c の比を $\beta = \frac{v}{c}$β=cv​ と定義する。

光パルスが $\text{B}$B から $\text{A}$A に到達するまでの間に、列車の時計が刻んだ時間（列車系での経過時間） $\Delta t' = t'_2 - t'_1$Δt′=t2′​−t1′​ と、地面の時計が刻んだ時間（静止系での経過時間） $\Delta t = t_2 - t_1$Δt=t2​−t1​ を考える。この2つの経過時間の比 $\frac{\Delta t}{\Delta t'}$Δt′Δt​ を $\beta$β を用いて表せ。

制約

• $L = 2.40 \times 10^8 \text{ m}$L=2.40×108 m
• $c = 8.00 \times 10^7 \text{ m/s}$c=8.00×107 m/s （時速 $288,000,000 \text{ km/h}$288,000,000 km/h に相当）
• $v = 4.80 \times 10^7 \text{ m/s}$v=4.80×107 m/s

入力形式

時間比 $\frac{\Delta t}{\Delta t'}$Δt′Δt​ の値は、ある既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ を用いて $\sqrt{\frac{p}{q}}$qp​​ と表すことができる。このときの分子と分母の和 $p + q$p+q の値を自然数で答えよ。