1次元調和振動子における線形摂動とエネルギー固有値の厳密解

問題文

質量 $m$m の粒子が、角振動数 $\omega$ω の1次元調和振動子ポテンシャル $V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$V(x)=21​mω2x2 の中を運動している。この系に、次のような位置 $x$x に比例する微小な摂動ポテンシャル $H'$H′ を加える。

$$H'(x) = - qEx$$H′(x)=−qEx

ここで、$q, E$q,E は正の定数であり、プランク定数 $\hbar$ℏ を用いて系の代表的なエネルギーに比べて十分に小さいものとする。

この全ハミルトニアン $H = H_0 + H'$H=H0​+H′（ただし $H_0$H0​ は無摂動のハミルトニアン）に対し、摂動論を用いずに、変数を適切に変換することでシュレーディンガー方程式の厳密な固有状態とエネルギー固有値を求めることができる。

非摂動系の基底状態（量子数 $n=0$n=0）のエネルギー固有値を $E_0^{(0)}$E0(0)​ とし、摂動を加えた後のハミルトニアンにおける基底状態の厳密なエネルギー固有値を $E_0$E0​ とする。エネルギーのシフト量 $\Delta E_0 = E_0 - E_0^{(0)}$ΔE0​=E0​−E0(0)​ を求めたとき、この値は系のパラメータを用いて次の形で表される。

$$\Delta E_0 = - \frac{A \cdot q^2 E^2}{m \omega^2}$$ΔE0​=−mω2A⋅q2E2​

ここで、$A$A は無次元の定数である。

制約

• 特になし（物理定数および設定された文字のまま計算を行う）

入力形式

定数 $A$A の値を計算し、それを分子と分母が互いに素な正の整数（自然数）である既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ の形で表せ。このとき、分子 $p$p と分母 $q$q の和である $p + q$p+q の値を求めよ。