極低光速世界における運動観測者の雷撃観測と時空遅延効果

問題文

光速 $c$c が極端に遅い仮想的な物理空間を考える。この空間の大気中（静止座標系 $S$S）における音速は $v_s = 351.0 \text{ m/s}$vs​=351.0 m/s であり、光速は $c = 501.0 \text{ m/s}$c=501.0 m/s であるとする。この空間における特殊相対性理論の数理形式は、通常の物理学の定義（ローレンツ因子 $\gamma = 1/\sqrt{1-(u/c)^2}$γ=1/1−(u/c)2​ 、およびローレンツ変換）がそのまま適用されるものとする。

大気（系 $S$S）に対して速度 $u = 400.8 \text{ m/s}$u=400.8 m/s で 直線軌道上を等速直線運動している超高速リニア列車がある。この列車の静止座標系を $S'$S′ とし、列車の進行方向を $x'$x′ 軸の正の向き、大気の静止系における列車の運動方向を $x$x 軸の正の向きとする。

列車が $x$x 軸上を進んでいるとき、列車の前方（ $x$x 軸の正の向き）にある静止した避雷針に雷が落ちた。 大気の静止系 $S$S において、落雷（発光および発音）が発生した位置を $x = L$x=L（ただし $L > 0$L>0）、時刻を $t = 0$t=0 とする。

列車の先頭にいる観測者は、自身の持つ時計（系 $S'$S′ の固有時）で時刻 $t' = t'_1$t′=t1′​ に雷の「光」を観測し、その後の時刻 $t' = t'_2$t′=t2′​ に雷の「音」を観測した。観測者が光を観測してから音を観測するまでの時間差を $\Delta t' = t'_2 - t'_1$Δt′=t2′​−t1′​ とする。

大気の静止系 $S$S における落雷位置までの初期距離 $L$L と、列車内で観測された時間差 $\Delta t'$Δt′ の比 $\frac{L}{\Delta t'}$Δt′L​ を求めよ。

制約

• 光速（系 $S$S にて）： $c = 501.0 \text{ m/s}$c=501.0 m/s
• 音速（系 $S$S にて）： $v_s = 351.0 \text{ m/s}$vs​=351.0 m/s
• 列車の速度（系 $S$S に対する）： $u = 400.8 \text{ m/s}$u=400.8 m/s
• 時刻 $t = 0$t=0 において、列車の先頭の座標は $x = 0$x=0 であったとする。また、この瞬間に列車の先頭の時計が示す時刻を $t' = 0$t′=0 とし、系 $S$S と系 $S'$S′ の時空原点は完全に一致していたとする。
• 列車および軌道は完全に直線であり、落雷位置は軌道の延長線上にあるものとみなせる。空気抵抗や電磁気的な影響による列車の減速、および雷の進展に伴う位置の変化はすべて無視できるものとする。

入力形式

求める比 $\frac{L}{\Delta t'}$Δt′L​ の値は、単位を $\text{m/s}$m/s としたとき、互いに素な自然数 $p, q$p,q を用いて既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ と表すことができる。このときの $p$p と $q$q の和である $p + q$p+q の値を答えよ。