拡張された物理定数をもつ世界における負の質量粒子の鉛直相対論的運動

問題文

光速 $c$c が極端に遅く、かつ負の質量をもつ物質が安定して存在する仮想的な物理空間を考える。この空間における万有引力の法則、運動方程式、特殊相対性理論に基づくローレンツ因子 $\gamma$γ、および相対論的運動量の定義式は、質量の符号（正負）に関わらず、通常の物理学の数理形式がそのまま適用されるものとする。

この世界にある、質量 $M$M、半径 $R$R の一様な球形をした孤立惑星を考える。この惑星の地表面近傍における鉛直上向きを $z$z 軸の正の向きとし、地表面を $z = 0$z=0 と定義する。惑星の地表面近傍における重力加速度の大きさ $g$g は、万有引力定数 $G$G、惑星の質量 $M$M、および半径 $R$R を用いて $g = \frac{GM}{R^2}$g=R2GM​ と表される。

いま、この惑星の地表面（ $z = 0$z=0 ）から、負の質量 $m$m （ $m < 0$m<0 ）と正の電荷 $q$q を持つ粒子 $\text{N}$N を、時刻 $t = 0$t=0 に鉛直上向き（ $z$z 軸の正の向き）へ初速度 $v_0$v0​ で打ち出した。同時に、地表面近傍の全域には、鉛直上向き（ $z$z 軸の正の向き）に強さ $E$E の一様な電場が印加されている。

粒子 $\text{N}$N が運動する際、惑星から受ける万有引力、および一様な電場から受ける静電気力の双方が、粒子の運動に影響を与える。ただし、粒子 $\text{N}$N の運動によって生じる磁場や電磁波の放射、および大気による抵抗などの影響はすべて無視できるものとする。

粒子 $\text{N}$N は打ち出された後、鉛直上向きに運動しながら減速し、ある最高点 $z = h$z=h に達した瞬間にその速度が一時的に $0$0 となった。この最高点 $h$h の値を求めよ。

制約

• 万有引力定数： $G = 7.00 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$G=7.00×10−11 N⋅m2/kg2
• 光速： $c = 8.00 \times 10^7 \text{ m/s}$c=8.00×107 m/s
• 惑星の質量： $M = 9.00 \times 10^{22} \text{ kg}$M=9.00×1022 kg
• 惑星の半径： $R = 1.00 \times 10^6 \text{ m}$R=1.00×106 m
• 粒子の初速度： $v_0 = 4.80 \times 10^7 \text{ m/s}$v0​=4.80×107 m/s
• 粒子の質量： $m = -2.00 \times 10^{-30} \text{ kg}$m=−2.00×10−30 kg
• 粒子の電荷： $q = 1.60 \times 10^{-19} \text{ C}$q=1.60×10−19 C
• 印加電場の強さ： $E = 7.125 \times 10^{-11} \text{ N/C}$E=7.125×10−11 N/C

入力形式

求める最高点 $h$h の値は、整数 $A_0, B_0$A0​,B0​ を用いて $h = \frac{A_0}{B_0} \times 10^{14} \text{ m}$h=B0​A0​​×1014 m と表すことができる。ただし、 $\frac{A_0}{B_0}$B0​A0​​ は互いに素な既約分数であるとする。このとき、分子と分母の和 $A_0 + B_0$A0​+B0​ の値を自然数で答えよ。