GWCS003 問題6

解説

力学的エネルギー保存則から音源の移動速度を導き出し、それをドップラー効果の公式へと適用する、力学と波動の総合問題です。

1. 力学的エネルギー保存則による速度の定式化

音源の質量を $m$m、斜面に沿って滑り降りた距離を $L$L とします。斜面はなめらかであり摩擦力が働かないため、音源の力学的エネルギーは保存されます。 滑り始めの最上点を位置エネルギーの基準とすると、距離 $L$L だけ滑り降りた点 $\text{P}$P は、鉛直下方に $L \sin \theta$Lsinθ だけ下がった位置になります。 点 $\text{P}$P を通過するときの音源の速さを $v$v とすると、力学的エネルギー保存則より次の式が成り立ちます。

$\frac{1}{2}mv^2 - mgL \sin \theta = 0$21​mv2−mgLsinθ=0

これを $v^2$v2 について整理すると以下のようになります。 $v^2 = 2gL \sin \theta$v2=2gLsinθ

2. ドップラー効果の適用

音源は静止した観測者に向かって、斜面に沿って速さ $v$v で直進しています。音源が点 $\text{P}$P を通過した瞬間に発した音波の振動数 $f'$f′ は、ドップラー効果の公式より次のように表されます。

$f' = \frac{V}{V - v} f_0$f′=V−vV​f0​

この式を、既知の変数が集まるように変形して $v$v を求めます。両辺を $f_0$f0​ で割り、逆数をとります。 $\frac{V - v}{V} = \frac{f_0}{f'}$VV−v​=f′f0​​ $1 - \frac{v}{V} = \frac{f_0}{f'}$1−Vv​=f′f0​​ $\frac{v}{V} = 1 - \frac{f_0}{f'}$Vv​=1−f′f0​​ $v = V \left(1 - \frac{f_0}{f'}\right)$v=V(1−f′f0​​)

3. 各物理量の算出

制約欄に与えられた数値を代入して、速さ $v$v を計算します。 $v = 340 \times \left(1 - \frac{596}{680}\right)$v=340×(1−680596​) $v = 340 \times \frac{680 - 596}{680} = 340 \times \frac{84}{680} = \frac{340}{680} \times 84 = 0.5 \times 84 = 42 \text{ m/s}$v=340×680680−596​=340×68084​=680340​×84=0.5×84=42 m/s

音源が点 $\text{P}$P を通過した瞬間の速さは $42 \text{ m/s}$42 m/s であることが分かります。 次に、ステップ1で導いた力学的エネルギー保存則の式に変数の値を代入し、距離 $L$L を求めます。 $v^2 = 2gL \sin \theta$v2=2gLsinθ $42^2 = 2 \times 9.8 \times L \times 0.50$422=2×9.8×L×0.50 $1764 = 9.8 \times L$1764=9.8×L $L = \frac{1764}{9.8} = 180 \text{ m}$L=9.81764​=180 m

4. 入力値の算出

入力形式に従い、求めた距離 $L = 180 \text{ m}$L=180 m を $3.5$3.5 倍した値を計算します。 $180 \times 3.5 = 630$180×3.5=630

入力すべき自然数は 630 です。