GWCS003 問題5

タイトル

斜め方向からの音波におけるドップラー効果

問題文

二次元の $xy$xy 平面において、風はなく、空気中の音速 $V$V は常に一定である。この平面上の点 $\text{S}(0, d)$S(0,d) に、一定の振動数 $f_0$f0​ の音波を全方位に発生させる音源が静止して固定されている。一方、ある観測者が $x$x 軸上を正の向きに一定の速さ $v$v で運動している。観測者が原点 $\text{O}(0,0)$O(0,0) を通過する瞬間に直接聴く音波の振動数 $f'$f′ を考える。この音波は、観測者が原点に到達するよりも前の時刻に音源 $\text{S}$S から発せられ、直線経路を通って原点に到達したものである。音源から観測者に向かう方向と観測者の運動方向の関係を考慮して、振動数の比 $\frac{f'}{f_0}$f0​f′​ を求めよ。

制約

• $f_0 = 578 \text{ Hz}$f0​=578 Hz
• $V = 340 \text{ m/s}$V=340 m/s
• $v = 160 \text{ m/s}$v=160 m/s
• $d = 150 \text{ m}$d=150 m

入力形式

観測者が原点を通過する瞬間に観測する音波の振動数 $f'$f′ と、音源の固有の振動数 $f_0$f0​ の比 $\frac{f'}{f_0}$f0​f′​ を既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ で表すとき、$p+q$p+q の値を表す自然数を入力せよ。

解説

斜め方向のドップラー効果の立式

観測者が原点 $\text{O}(0, 0)$O(0,0) を通過する瞬間に聴く音波は、点 $\text{S}(0, d)$S(0,d) にある静止音源から発せられ、原点 $\text{O}$O へ向かって直線状に伝播してきたものです。

音源 $\text{S}(0, d)$S(0,d) から観測者の位置 $\text{O}(0, 0)$O(0,0) へ向かう単位ベクトルを考えます。この方向は $y$y 軸の負の向き、すなわち $(0, -1)$(0,−1) です。

観測者の速度ベクトル $\boldsymbol{v}$v は、$x$x 軸の正の向きに速さ $v$v で運動しているため、$(v, 0)$(v,0) と表されます。

観測者が受けるドップラー効果において有効となる速度成分は、音源から観測者へ向かう直線（視線方向）への観測者の速度の正射影成分です。

音源から観測者へ向かう方向の単位ベクトルを $\boldsymbol{e}$e とすると、

$$\boldsymbol{e} = (0, -1)$$e=(0,−1)

観測者の速度ベクトル $\boldsymbol{v}$v との内積をとることで、視線方向の速度成分 $v_\text{obs}$vobs​ を求めます。

$$v_\text{obs} = \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{e} = (v, 0) \cdot (0, -1) = 0$$vobs​=v⋅e=(v,0)⋅(0,−1)=0

したがって、観測者が原点を通過する瞬間において、観測者の運動方向は音源からの音波の伝播方向と垂直（直交）しています。そのため、音波の伝播方向に対する観測者の速度成分は $0$0 となります。

観測される振動数の導出

音源は静止しており（$v_\text{src} = 0$vsrc​=0）、観測者の音波伝播方向の速度成分も $0$0 であるため、ドップラー効果の一般式

$$f' = f_0 \frac{V - v_\text{obs}}{V - v_\text{src}}$$f′=f0​V−vsrc​V−vobs​​

に代入すると、

$$f' = f_0 \frac{V - 0}{V - 0} = f_0$$f′=f0​V−0V−0​=f0​

となります。

したがって、振動数の比は次のように求められます。

$$\frac{f'}{f_0} = 1$$f0​f′​=1

これを既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ で表すと、

$$\frac{f'}{f_0} = \frac{1}{1}$$f0​f′​=11​

となり、$p = 1$p=1, $q = 1$q=1 です。

入力値の計算

求められている自然数 $p+q$p+q の値を計算します。

$$p + q = 1 + 1 = 2$$p+q=1+1=2

指定された入力形式に従い、入力すべき自然数は 2 です。