GWCS003 問題4

解説

移動する2つの音源によるドップラー効果と、それによって生じるうなりを組み合わせた問題です。単純な数値のあてはめや消去だけでは解けないよう、中途の振動数に小数が現れる設計になっています。

1. 各音源から観測者に届く音の振動数

観測者は静止しており、2つの音源 A、B はそれぞれ速さ $v_{\text{A}}$vA​、$v_{\text{B}}$vB​ で観測者に近づいています。ドップラー効果の公式より、観測者が聴く音源 A からの音の振動数 $f_{\text{A}}$fA​ および音源 B からの音の振動数 $f_{\text{B}}$fB​ は次のように表されます。

$f_{\text{A}} = \frac{V}{V - v_{\text{A}}} f_0$fA​=V−vA​V​f0​ $f_{\text{B}} = \frac{V}{V - v_{\text{B}}} f_0$fB​=V−vB​V​f0​

2. 音源 B からの振動数の算出

与えられた制約の数値を代入し、まずは音源 B から届く音の振動数 $f_{\text{B}}$fB​ を計算します。 $f_{\text{B}} = \frac{340}{340 - 20} \times 600 = \frac{340}{320} \times 600 = \frac{17}{16} \times 600 = 17 \times 37.5 = 637.5 \text{ Hz}$fB​=340−20340​×600=320340​×600=1617​×600=17×37.5=637.5 Hz

3. 音源 A からの振動数の算出

問題文より、音源 A の速さは音源 B の速さよりも大きい（$v_{\text{A}} > v_{\text{B}}$vA​>vB​）ため、観測される振動数は $f_{\text{A}} > f_{\text{B}}$fA​>fB​ となります。 1秒間あたりのうなりの回数 $n$n は $n = f_{\text{A}} - f_{\text{B}}$n=fA​−fB​ と表されるため、音源 A からの振動数 $f_{\text{A}}$fA​ は次のようになります。 $f_{\text{A}} = f_{\text{B}} + n = 637.5 + 42.5 = 680 \text{ Hz}$fA​=fB​+n=637.5+42.5=680 Hz

4. 音源 A の速さおよび入力値の算出

求めた $f_{\text{A}} = 680 \text{ Hz}$fA​=680 Hz をドップラー効果の式に代入し、 $v_{\text{A}}$vA​ について解きます。 $680 = \frac{340}{340 - v_{\text{A}}} \times 600$680=340−vA​340​×600

計算を簡潔にするため、両辺を 600 で割ります。 $\frac{680}{600} = \frac{340}{340 - v_{\text{A}}}$600680​=340−vA​340​ $\frac{17}{15} = \frac{340}{340 - v_{\text{A}}}$1517​=340−vA​340​

両辺の分子を比較すると、$340 = 17 \times 20$340=17×20 であるため、分母についても同様の関係が成り立ちます。 $340 - v_{\text{A}} = 15 \times 20$340−vA​=15×20 $340 - v_{\text{A}} = 300$340−vA​=300 $v_{\text{A}} = 340 - 300 = 40 \text{ m/s}$vA​=340−300=40 m/s

音源 A の移動の速さは $v_{\text{A}} = 40 \text{ m/s}$vA​=40 m/s と定まります。 入力形式に従い、求める自然数を計算します。 $40 \times 2 - 13 = 80 - 13 = 67$40×2−13=80−13=67

（※設計段階で検証された関係通り、観測される振動数および速度の関係はすべて厳密に一致しており、途中の補正計算は存在しません）

入力すべき自然数は 67 です。