GWCS003 問題2

解説

閉管（一端が閉じた管）の共鳴現象において、開口端補正を考慮して音波の振動数を求める問題です。

開口端補正を考慮した定常波の条件

ガラス管の開口端から腹の位置までのはみ出し（開口端補正）を $\Delta x$Δx とします。 ピストンがある下端は固定端（定常波の節）、管口から $\Delta x$Δx だけ外側の位置が自由端（定常波の腹）となります。

気柱の長さを 0 から長くして1回目に起こる共鳴（基本振動）では、節から腹までの距離が気柱の長さ $L_1$L1​ に開口端補正 $\Delta x$Δx を加えたものに等しくなります。音波の波長を $\lambda$λ とすると、次の関係が成り立ちます。 $L_1 + \Delta x = \frac{1}{4}\lambda$L1​+Δx=41​λ

2回目に起こる共鳴（3倍振動）では、管内にさらに節と腹が1つずつ増えるため、次の関係が成り立ちます。 $L_2 + \Delta x = \frac{3}{4}\lambda$L2​+Δx=43​λ

波長の算出

2つの式の差をとることで、未知の開口端補正 $\Delta x$Δx を消去して波長 $\lambda$λ を求めることができます。 $(L_2 + \Delta x) - (L_1 + \Delta x) = \frac{3}{4}\lambda - \frac{1}{4}\lambda$(L2​+Δx)−(L1​+Δx)=43​λ−41​λ $L_2 - L_1 = \frac{1}{2}\lambda$L2​−L1​=21​λ

これより、波長 $\lambda$λ は次のように表されます。 $\lambda = 2(L_2 - L_1)$λ=2(L2​−L1​)

制約の数値を代入します。 $\lambda = 2 \times (0.510 - 0.170) = 2 \times 0.340 = 0.680 \text{ m}$λ=2×(0.510−0.170)=2×0.340=0.680 m

振動数の算出

音波の基本式 $V = f\lambda$V=fλ より、音源の振動数 $f$f を求めます。 $f = \frac{V}{\lambda}$f=λV​

数値を代入します。 $f = \frac{340}{0.680} = 500 \text{ Hz}$f=0.680340​=500 Hz

したがって、求める音源の振動数は $500 \text{ Hz}$500 Hz となります。

入力すべき自然数は 500 です。