GWCS001 問題4

解説

物理設定の整理

本問題は、同一直線上に配置された2つの同位相の点音源から生じる波の干渉に関する問題です。高校物理（難易度5）の波動分野における基本的な公式「波の基本式」「干渉条件」「定常波の性質」を組み合わせることで、論理的に解を導くことができます。

与えられている物理量は以下の通りです。

• 音速 $V = 330 \, \mathrm{m/s}$V=330m/s
• 振動数 $f_1 = 600 \, \mathrm{Hz}$f1​=600Hz
• 振動数 $f_2 = 640 \, \mathrm{Hz}$f2​=640Hz
• 音源間の距離 $d = 8.25 \, \mathrm{m}$d=8.25m

第1段階：領域 $x > d$x>d における干渉条件と次数の決定

領域 $x > d$x>d 上の任意の点における、2つの音源S_1（ $x=0$x=0 ）とS_2（ $x=d$x=d ）からの経路差 $\Delta L$ΔL は、問題文にある通り観測点の座標 $x$x に依存せず、常に一定値となります。

$\Delta L = x - (x - d) = d$ΔL=x−(x−d)=d

2つの音源は同位相で振動しているため、この領域で音が強め合うための条件は、波長を $\lambda$λ 、次数を $k$k （ $k$k は正の整数）として次のように表されます。

$d = k \lambda$d=kλ

波の基本式 $\text{速度} = \text{振動数} \times \text{波長}$速度=振動数×波長 （ $V = f \lambda$V=fλ ）より、 $\lambda = \frac{V}{f}$λ=fV​ を代入すると、強め合いを起こす振動数 $f$f の条件式が得られます。

$d = k \frac{V}{f} \quad \Longrightarrow \quad f = k \frac{V}{d}$d=kfV​⟹f=kdV​

問題文より、振動数を連続的に大きくしたとき、 $f_1$f1​ と $f_2$f2​ で連続して強め合いが観測されています。したがって、 $f_1$f1​ における次数を $m$m とすると、 $f_2$f2​ における次数は $m+1$m+1 となります。それぞれの式は以下の通りです。

$f_1 = m \frac{V}{d}$f1​=mdV​

$f_2 = (m + 1) \frac{V}{d}$f2​=(m+1)dV​

この2つの式の比をとる、または問題文に与えられた関係式 $f_2 = \frac{16}{15} f_1$f2​=1516​f1​ を利用します。

$\frac{f_2}{f_1} = \frac{m + 1}{m} = 1 + \frac{1}{m}$f1​f2​​=mm+1​=1+m1​

これが $\frac{16}{15} = 1 + \frac{1}{15}$1516​=1+151​ に等しいことから、次数 $m$m は以下のように一意に決定されます。

$m = 15$m=15

したがって、振動数 $f_1$f1​ は、この領域において「15回目の強め合い」に対応する振動数であることが分かります。

第2段階：振動数 $f_1$f1​ における波長 $\lambda_1$λ1​ の算出

振動数 $f_1 = 600 \, \mathrm{Hz}$f1​=600Hz のときの波長を $\lambda_1$λ1​ とします。波の基本式より、以下のように計算されます。

$\lambda_1 = \frac{V}{f_1} = \frac{330}{600} = \frac{33}{60} = 0.55 \, \mathrm{m}$λ1​=f1​V​=600330​=6033​=0.55m

第3段階：音源間（ $0 < x < d$0<x<d ）の定常波の節の総数 $N$N の導出

2つの同一の正弦波が逆向きに進んで重なり合う音源間の区間（ $0 < x < d$0<x<d ）には、定常波が形成されます。 同位相の音源に挟まれた区間の中央（ $x = \frac{d}{2}$x=2d​ ）は、両音源からの距離が等しく経路差が $0$0 になるため、必ず定常波の「腹（大きく振動する点）」になります。

定常波の性質として、隣り合う「腹」と「節」の間隔は $\frac{\lambda_1}{4}$4λ1​​ 、隣り合う「節」と「節」の間隔は $\frac{\lambda_1}{2}$2λ1​​ です。

ここで、数式的なアプローチを用いて節の位置を正確に特定します。音源S_1（ $x=0$x=0 ）と音源S_2（ $x=d$x=d ）から距離 $x$x の点における経路差は、 $(d - x) - x = d - 2x$(d−x)−x=d−2x と表されます。 定常波の「節」は、2つの波が逆位相で重なり合って完全に打ち消し合う点、すなわち経路差が半波長の奇数倍になる位置です。整数 $n$n を用いて条件式を立てます。

$|d - 2x| = \left(n + \frac{1}{2}\right)\lambda_1$∣d−2x∣=(n+21​)λ1​

いま、 $0 < x < d$0<x<d の区間を考えているため、絶対値を外して位置 $x$x について解くと、節の位置の座標は次のように表されます。

$x = \frac{d}{2} \pm \frac{2n + 1}{4}\lambda_1 \quad (n = 0, 1, 2, \dots)$x=2d​±42n+1​λ1​(n=0,1,2,…)

これは、中央の腹（ $x = \frac{d}{2}$x=2d​ ）から左右に $\frac{1}{4}\lambda_1, \frac{3}{4}\lambda_1, \frac{5}{4}\lambda_1, \dots$41​λ1​,43​λ1​,45​λ1​,… だけ離れた位置に節が存在することを示しています。

節がこの開区間（ $0 < x < d$0<x<d ）の内部に収まるための条件は、中央からの距離が $\frac{d}{2}$2d​ 未満であることです。

$\frac{2n + 1}{4}\lambda_1 < \frac{d}{2}$42n+1​λ1​<2d​

両辺に $4$4 を掛け、 $\lambda_1$λ1​ で割ります。

$(2n + 1) < \frac{2d}{\lambda_1}$(2n+1)<λ1​2d​

ここで、第1段階より $d = m \lambda_1 = 15 \lambda_1$d=mλ1​=15λ1​ であるため、 $\frac{d}{\lambda_1} = 15$λ1​d​=15 です。これを代入します。

$2n + 1 < 2 \times 15 = 30$2n+1<2×15=30

$2n < 29 \quad \Longrightarrow \quad n < 14.5$2n<29⟹n<14.5

$n$n は $0$0 以上の整数であるため、条件を満たす $n$n の値は $n = 0, 1, 2, \dots, 14$n=0,1,2,…,14 の計15個存在します。 中央（ $x = \frac{d}{2}$x=2d​ ）の右側に15個、そして対称性により左側にも同じく15個の節が存在します。中央点自体は「腹」であって「節」ではないため、区間内にある節の総数 $N$N は次のようになります。

$N = 15 + 15 = 30 \, \text{個}$N=15+15=30個

（※別解として、全体の距離 $d = 15 \lambda_1$d=15λ1​ の中に半波長 $\frac{\lambda_1}{2}$2λ1​​ がいくつ含まれるかを考えると、 $15 \div \frac{1}{2} = 30$15÷21​=30 個の区間に分割されます。同位相音源の端点は「腹」に近い位相関係となるため、この分割数と内部の節の数が完全に一致し、 $N = 30$N=30 と求めることも可能です。）

入力形式への適合

求めた節の総数 $N = 30$N=30 を用いて、入力形式の指定に従い値 $W$W を計算します。

$W = N \times 4610 = 30 \times 4610 = 138300$W=N×4610=30×4610=138300

この算出された数値 $138300$138300 は、10の位まで正確に定まった、1000以上100万未満の範囲に収まる自然数です。

最終に入力すべき自然数は 138300 です。