GWCP001 問題5

タイトル

全身を映す鏡の最小の長さ

問題文

ある人が、平らな床の上に真っ直ぐに立ち、垂直な壁に取り付けられた平面鏡に向かい合って自分の全身（頭のてっぺんから足の先まで）を見ている。この人が自分の全身を見るために必要な、鏡の上下方向の最小の長さを $M$ とする。このとき、人の身長 $H$ と鏡の最小の長さ $M$ の比を計算したい。鏡からの距離に関わらず一定となる無次元比 $\dfrac{H}{M}$ の値を求めよ。

制約

$H = 160\text{ cm}$

入力形式

$\dfrac{H}{M}$ の値を自然数で答えよ。

解説

光の反射の法則と像

鏡に映る物体の像は、光が鏡の表面で反射することによって見えます。光が反射するとき、入射角と反射角は常に等しくなります（反射の法則）。

全身を見るための条件

人が鏡で自分の頭のてっぺんを見る夫とき、頭のてっぺんから出た光が鏡で反射して目に届きます。同様に、足の先を見るとき、足の先から出た光が鏡で反射して目に届きます。

相似の関係

反射の法則により、目と頭のてっぺんのちょうど中間の高さに鏡の上端があれば、頭のてっぺんからの光が反射して目に届きます。また、目と足の先のちょうど中間の高さに鏡の下端があれば、足の先からの光が反射して目に届きます。

これは、人と鏡、および鏡の奥にある像の位置関係を横から見ると、三角形の相似の関係（比が $1:2$ ）になっていることからも分かります。そのため、鏡からの距離や目の位置がどこであっても、全身を映すために必要な鏡の上下方向の長さ $M$ は、常に身長 $H$ のちょうど半分になります。

$M = \frac{H}{2}$

計算

鏡の最小の長さ $M$ は、身長 $H = 160\text{ cm}$ の半分です。

$M = \frac{160\text{ cm}}{2} = 80\text{ cm}$

求めたい値は $\frac{H}{M}$ です。

$\frac{H}{M} = \frac{160\text{ cm}}{80\text{ cm}} = 2$

したがって、入力すべき自然数は 2 です。