GWCB010 問題5

解説

運動エネルギーと作業・エネルギーの関係

本問題では、小物体が初期位置からばねの自然長の位置まで移動する間に、ばねの弾性力と床からの動摩擦力の2つの力が仕事を行います。

運動エネルギー変化の原理（機能原理）より、物体にされた仕事の和は運動エネルギーの変化に等しくなります。初速度は $0\,\mathrm{m/s}$0m/s であるため、自然長の位置での運動エネルギーを $K$K とすると次の関係が成り立ちます。

$$W_{\mathrm{ばね}} + W_{\mathrm{動摩擦力}} = K - 0$$Wばね​+W動摩擦力​=K−0

各力のする仕事の導出

1. ばねの弾性力がする仕事 $W_{\mathrm{ばね}}$Wばね​ ばねの伸びが $x_0$x0​ から $0$0 に変化するとき、弾性力（保存力）による位置エネルギーの位置の変化量から、ばねが小物体にする仕事は以下のようになります。

   $$W_{\mathrm{ばね}} = \frac{1}{2} k x_0^2$$Wばね​=21​kx02​

2. 動摩擦力がする仕事 $W_{\mathrm{動摩擦力}}$W動摩擦力​ 運動中、小物体には鉛直下向きの重力 $mg$mg と鉛直上向きの垂直抗力 $N$N が働き、鉛直方向の力のつり合いより $N = mg$N=mg です。したがって、動摩擦力の大きさ $f'$f′ は一定で $f' = \mu' N = \mu' mg$f′=μ′N=μ′mg となります。 動摩擦力は進行方向と逆向きに働くため、距離 $x_0$x0​ 移動する間に動摩擦力がする仕事は負の値になります。

   $$W_{\mathrm{動摩擦力}} = -\mu' mg x_0$$W動摩擦力​=−μ′mgx0​

運動エネルギー $K$K の算出

上記より、自然長に達した時点での運動エネルギー $K$K は以下のように表されます。

$$K = \frac{1}{2} k x_0^2 - \mu' mg x_0$$K=21​kx02​−μ′mgx0​

与えられた制約の値を代入します。

• $m = 0.50\,\mathrm{kg}$m=0.50kg
• $k = 32\,\mathrm{N/m}$k=32N/m
• $x_0 = 0.50\,\mathrm{m}$x0​=0.50m
• $\mu' = 0.20$μ′=0.20
• $g = 9.8\,\mathrm{m/s^2}$g=9.8m/s2

それぞれ計算すると、

$$\frac{1}{2} k x_0^2 = \frac{1}{2} \times 32 \times (0.50)^2 = 16 \times 0.25 = 4.0\,\mathrm{J}$$21​kx02​=21​×32×(0.50)2=16×0.25=4.0J $$\mu' mg x_0 = 0.20 \times 0.50 \times 9.8 \times 0.50 = 0.10 \times 4.9 = 0.49\,\mathrm{J}$$μ′mgx0​=0.20×0.50×9.8×0.50=0.10×4.9=0.49J

したがって、運動エネルギー $K$K は、

$$K = 4.0 - 0.49 = 3.51\,\mathrm{J}$$K=4.0−0.49=3.51J

となります。

入力値の計算

得られた $K = 3.51 = \frac{351}{100}$K=3.51=100351​ について、分子 $351$351 と分母 $100$100 の最大公約数を調べます。

$351 = 3^2 \times 39 = 3^3 \times 13$351=32×39=33×13 であり、$100 = 2^2 \times 5^2$100=22×52 であるため、公約数は $1$1 のみです。 したがって、分数 $\frac{351}{100}$100351​ は既約分数であり、$p = 351$p=351、$q = 100$q=100 となります。

指定された値 $p + q$p+q を計算します。

$$p + q = 351 + 100 = 451$$p+q=351+100=451

最終的に入力すべき自然数は 451 です。