GWCB010 問題4

解説

本問題では、小球に働く力は保存力である重力のみであり、空気抵抗などの非保存力は働きません。したがって、小球の運動において力学的エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギーの和）は保存されます。

床（ $y = 0$ ）を基準とすると、運動中の任意の点における力学的エネルギー $E$ は、小球の速さを $v$ 、高さを $y$ として次のように表されます。

E = \frac{1}{2} m v^2 + m g y

投げ上げた直後（ $y = 0$ ） 初速度の大きさは $v_0$ であるため、力学的エネルギー $E_1$ は運動エネルギーのみとなります。
$E_1 = \frac{1}{2} m v_0^2$
最高点（ $y = h$ ） 最高点では小球を一瞬静止するため、速さは $v = 0$ となります。したがって、最高点での力学的エネルギー $E_2$ は位置エネルギー $E_{\mathrm{p}}$ のみとなります。
$E_2 = E_{\mathrm{p}} = m g h$

力学的エネルギー保存の法則（ $E_1 = E_2$ ）より、以下の関係式が成り立ちます。

\frac{1}{2} m v_0^2 = m g h

両辺の質量 $m$ を消去し、最高点の高さ $h$ について解くと次のようになります。

h = \frac{v_0^2}{2g}

与えられた制約の値を代入します。

h = \frac{(7.0)^2}{2 \times 9.8} = \frac{49}{19.6} = 2.5\,\mathrm{m}

また、最高点での重力による位置エネルギー $E_{\mathrm{p}}$ は、

E_{\mathrm{p}} = m g h = 0.20 \times 9.8 \times 2.5 = 4.9\,\mathrm{J}

となります。

最高点の高さ $h = 2.5\,\mathrm{m}$ より、指定された数値 $N$ を計算します。

N = 10 \times h = 10 \times 2.5 = 25

最終的に入力すべき自然数は 25 です。