GWCB009 問題5

解説

受ける力の分析

小物体に働く力を斜面に沿う方向（$x$x 軸方向）と斜面に垂直な方向に分解して考えます。

1. 斜面に垂直な方向 小物体は斜面から離れず運動するため、斜面に垂直な方向の力はつりあっています。 垂直抗力を $N$N とすると、重力の斜面に垂直な成分は $m g \cos\theta$mgcosθ であるため、次の関係が成り立ちます。

   $N = m g \cos\theta$N=mgcosθ

2. 斜面に沿う方向（$x$x 軸方向） 小物体は斜面に沿って上向き（$x$x 軸の正の向き）に運動しているため、動摩擦力 $f$f は運動を妨げる向き、すなわち斜面に沿って下向き（$x$x 軸の負の向き）に働きます。 動摩擦力の大きさは $f = \mu N = \mu m g \cos\theta$f=μN=μmgcosθ です。

   また、重力の斜面に沿う成分 $m g \sin\theta$mgsinθ も斜面に沿って下向き（$x$x 軸の負の向き）に働きます。

   外力 $F$F は斜面に沿って上向き（$x$x 軸の正の向き）に加わっています。

運動方程式の立式

斜面に沿って上向きを正の向きとして、小物体の運動方程式を立てます。

$m a = F - m g \sin\theta - f$ma=F−mgsinθ−f

動摩擦力 $f = \mu m g \cos\theta$f=μmgcosθ を代入します。

$m a = F - m g \sin\theta - \mu m g \cos\theta$ma=F−mgsinθ−μmgcosθ

両辺を $m$m で割ることで、加速度 $a$a を求める式が得られます。

$a = \frac{F}{m} - g (\sin\theta + \mu \cos\theta)$a=mF​−g(sinθ+μcosθ)

数値計算

与えられた制約の値を代入して加速度 $a$a を計算します。

まず、各項の値を計算します。

$\frac{F}{m} = \frac{25\ \text{N}}{2.0\ \text{kg}} = 12.5\ \text{m/s}^2 = \frac{25}{2}\ \text{m/s}^2$mF​=2.0 kg25 N​=12.5 m/s2=225​ m/s2

$g (\sin\theta + \mu \cos\theta) = 9.8 \times (0.60 + 0.25 \times 0.80) = 9.8 \times (0.60 + 0.20) = 9.8 \times 0.80 = 7.84\ \text{m/s}^2$g(sinθ+μcosθ)=9.8×(0.60+0.25×0.80)=9.8×(0.60+0.20)=9.8×0.80=7.84 m/s2

したがって、加速度 $a$a は次のようになります。

$a = 12.5 - 7.84 = 4.66\ \text{m/s}^2$a=12.5−7.84=4.66 m/s2

これを分数形式で表します。

$a = 4.66 = \frac{466}{100} = \frac{233}{50}$a=4.66=100466​=50233​

分子 $233$233 と分母 $50$50 について検討します。 $50$50 の素因数は $2$2 と $5$5 ですが、$233$233 は奇数であり、末尾が $0$0 や $5$5 ではないため $2$2 でも $5$5 でも割り切れません。 したがって、$\frac{233}{50}$50233​ は既約分数であり、$p = 233$p=233、$q = 50$q=50 と定まります。

求めて入力すべき値は以下の通りです。

$p + q = 233 + 50 = 283$p+q=233+50=283

最終的に入力する自然数は 283 です。