GWCB009 問題3

解説

熱量保存の法則

断熱容器内での熱移動では、外部との熱のやりとりがないため、高音の物体が失った熱量と低音の物体が得た熱量の総和は等しくなります（熱量保存の法則）。

比熱 $c$c、質量 $m$m の物体の温度が $\Delta T$ΔT 変化するときに吸収または放出する熱量 $Q$Q は、以下の公式で表されます。

$Q = m c \Delta T$Q=mcΔT

立式

本問では、$T_2 > T_1$T2​>T1​ であるため、金属球 B から液体 A へ熱が移動します。混合後の平衡温度を $T$T とすると、$T_1 < T < T_2$T1​<T<T2​ となります。

• 液体 A が得た熱量 $Q_{\text{gain}}$Qgain​: $Q_{\text{gain}} = m_1 c_1 (T - T_1)$Qgain​=m1​c1​(T−T1​)

• 金属球 B が失った熱量 $Q_{\text{loss}}$Qloss​: $Q_{\text{loss}} = m_2 c_2 (T_2 - T)$Qloss​=m2​c2​(T2​−T)

熱量保存の法則 $Q_{\text{gain}} = Q_{\text{loss}}$Qgain​=Qloss​ より、以下の等式が成立します。

$m_1 c_1 (T - T_1) = m_2 c_2 (T_2 - T)$m1​c1​(T−T1​)=m2​c2​(T2​−T)

求める温度差 $\Delta T = T - T_1$ΔT=T−T1​ とおくと、$T_2 - T = (T_2 - T_1) - \Delta T$T2​−T=(T2​−T1​)−ΔT と変形できるため、上式は次のように整理できます。

$m_1 c_1 \Delta T = m_2 c_2 \{(T_2 - T_1) - \Delta T\}$m1​c1​ΔT=m2​c2​{(T2​−T1​)−ΔT}

$\left(m_1 c_1 + m_2 c_2\right) \Delta T = m_2 c_2 (T_2 - T_1)$(m1​c1​+m2​c2​)ΔT=m2​c2​(T2​−T1​)

$\Delta T = \frac{m_2 c_2 (T_2 - T_1)}{m_1 c_1 + m_2 c_2}$ΔT=m1​c1​+m2​c2​m2​c2​(T2​−T1​)​

数値計算

与えられた制約の値を代入します。

まず、各物体の熱容量 $C = m c$C=mc を計算します。

$m_1 c_1 = 0.200\ \text{kg} \times 4200\ \text{J/(kg\cdot K)} = 840\ \text{J/K}$m1​c1​=0.200 kg×4200 J/(kg\cdotK)=840 J/K

$m_2 c_2 = 0.100\ \text{kg} \times 380\ \text{J/(kg\cdot K)} = 38\ \text{J/K}$m2​c2​=0.100 kg×380 J/(kg\cdotK)=38 J/K

初期の温度差 $T_2 - T_1$T2​−T1​ は以下の通りです。

$T_2 - T_1 = 373.0\ \text{K} - 293.0\ \text{K} = 80.0\ \text{K}$T2​−T1​=373.0 K−293.0 K=80.0 K

これらを $\Delta T$ΔT の式に代入します。

$\Delta T = \frac{38 \times 80}{840 + 38} = \frac{3040}{878}$ΔT=840+3838×80​=8783040​

分子と分母をそれぞれ $2$2 で約分して既約分数にします。

$\Delta T = \frac{1520}{439}$ΔT=4391520​

分母の $439$439 は素数であり、分子 $1520$1520 は $439$439 で割り切れないため、$\frac{1520}{439}$4391520​ は既約分数です。

したがって、$p = 1520$p=1520、$q = 439$q=439 となり、求めたい値は以下のようになります。

$p + q = 1520 + 439 = 1959$p+q=1520+439=1959

最終的に入力する自然数は 1959 です。