GWCB008 問題4

解説

加熱器から加えられた熱量 $Q_1$Q1​ の導出

質量 $m$m、比熱 $c$c の物体の温度を $\Delta T$ΔT 上昇させるために必要な熱量 $Q$Q は、以下の関係式で表されます。

$$Q = m c \Delta T$$Q=mcΔT

水の質量 $m_w = 0.20\ \text{kg} = 200\ \text{g}$mw​=0.20 kg=200 g、比熱 $c_w = 4.2\ \text{J/(g\cdot K)}$cw​=4.2 J/(g\cdotK)、温度上昇量 $\Delta T_1 = 10\ \text{K}$ΔT1​=10 K より、加熱器から加えられた熱量 $Q_1$Q1​ は次のように計算できます。

$$Q_1 = m_w c_w \Delta T_1 = 200 \times 4.2 \times 10 = 8400\ \text{J}$$Q1​=mw​cw​ΔT1​=200×4.2×10=8400 J

熱平衡と金属球から受け取った熱量 $Q_2$Q2​ の導出

金属球を入れた後の熱平衡温度を T\ [\text{^\circ C}] とします。

高温の金属球が失った熱量 $Q_{\text{loss}}$Qloss​ は、以下のように表されます。

$$Q_{\text{loss}} = m_m c_m (T_m - T)$$Qloss​=mm​cm​(Tm​−T)

低温の水が受け取った熱量 $Q_2$Q2​ は、以下のように表されます。

$$Q_2 = m_w c_w (T - T_{w1})$$Q2​=mw​cw​(T−Tw1​)

熱量の移動が水と金属球の間のみで行われるため、熱量の保存律（高温物体が失った熱量 ＝ 低温物体が受け取った熱量）より、 $Q_2 = Q_{\text{loss}}$Q2​=Qloss​ が成り立ちます。

$$m_w c_w (T - T_{w1}) = m_m c_m (T_m - T)$$mw​cw​(T−Tw1​)=mm​cm​(Tm​−T)

金属球の質量 $m_m = 0.10\ \text{kg} = 100\ \text{g}$mm​=0.10 kg=100 g、比熱 $c_m = 0.42\ \text{J/(g\cdot K)}$cm​=0.42 J/(g\cdotK) です。各値を代入して熱平衡温度 $T$T を求めます。

$$200 \times 4.2 \times (T - 30) = 100 \times 0.42 \times (80 - T)$$200×4.2×(T−30)=100×0.42×(80−T)

両辺を $42$42 で割ると、次のように簡略化できます。

$$20 (T - 30) = 1 \times (80 - T)$$20(T−30)=1×(80−T) $$20T - 600 = 80 - T$$20T−600=80−T 21T = 680 \implies T = \frac{680}{21}\ \text{^\circ C}

この熱平衡温度 $T$T を用いて、水が受け取った熱量 $Q_2$Q2​ を計算します。

$$Q_2 = 200 \times 4.2 \times \left(\frac{680}{21} - 30\right) = 840 \times \left(\frac{680 - 630}{21}\right) = 840 \times \frac{50}{21} = 2000\ \text{J}$$Q2​=200×4.2×(21680​−30)=840×(21680−630​)=840×2150​=2000 J

熱量の和 $Q_{\text{total}}$Qtotal​ の計算

求める熱量の和 $Q_{\text{total}}$Qtotal​ は以下の通りです。

$$Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2 = 8400 + 2000 = 10400\ \text{J}$$Qtotal​=Q1​+Q2​=8400+2000=10400 J

したがって、入力すべき自然数は 10400 となります。