GWCB007 問題4

解説

半減期と残存原子核数の関係

単位時間あたりに崩壊する原子核の数が、その時刻の未崩壊数 $N(t)$N(t) に比例することから、時刻 $t$t における未崩壊の原子核の数 $N(t)$N(t) は、半減期 $T$T を用いて次のように表されます。

$$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$$N(t)=N0​(21​)Tt​

半減期 $T$T が経過するごとに、未崩壊の原子核の数は元の $\frac{1}{2}$21​ 倍になります。

各時刻における未崩壊原子核の算出

時刻 $t = 2T$t=2T において残っている未崩壊の原子核の数 $N(2T)$N(2T) は以下の通りです。

$$N(2T) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}N_0$$N(2T)=N0​(21​)2=41​N0​

同様に、時刻 $t = 3T$t=3T において残っている未崩壊の原子核の数 $N(3T)$N(3T) は以下の通りです。

$$N(3T) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}N_0$$N(3T)=N0​(21​)3=81​N0​

指定された時間区間で崩壊する原子核の数と割合

時刻 $t = 2T$t=2T から $t = 3T$t=3T の間に崩壊した原子核の数 $\Delta N$ΔN は、時刻 $t = 2T$t=2T での未崩壊数と時刻 $t = 3T$t=3T での未崩壊数の差分となります。

$$\Delta N = N(2T) - N(3T) = \frac{1}{4}N_0 - \frac{1}{8}N_0 = \frac{1}{8}N_0$$ΔN=N(2T)−N(3T)=41​N0​−81​N0​=81​N0​

したがって、初期の原子核の数 $N_0$N0​ に対する崩壊した数の割合は次のように求まります。

$$\frac{\Delta N}{N_0} = \frac{1}{8}$$N0​ΔN​=81​

自然数の導出

得られた割合は既約分数 $\frac{p}{q} = \frac{1}{8}$qp​=81​ と表されるため、$p = 1$p=1, $q = 8$q=8 となります。

求める値 $p + q$p+q は以下の通りです。

$$p + q = 1 + 8 = 9$$p+q=1+8=9

最終的に入力すべき自然数は 9 です。