GWCB007 問題3

解説

物理的背景と微分方程式の立式

放射性崩壊は、個々の原子核が確率的に崩壊する現象です。時刻 $t$t における未崩壊の原子核の数を $N(t)$N(t) とすると、微小時間 $dt$dt の間に崩壊する原子核の数 $-dN$−dN は、そのときに存在する原子核の数 $N(t)$N(t) および時間 $dt$dt に比例します。比例定数を崩壊定数 $\lambda$λ とおくと、以下の微分方程式が成り立ちます。

$$-\frac{dN(t)}{dt} = \lambda N(t)$$−dtdN(t)​=λN(t)

微分方程式の解法

この変数分離型微分方程式を解きます。両辺を $N(t)$N(t) で割り、$t$t で積分します。

$$\int \frac{1}{N} dN = -\int \lambda dt$$∫N1​dN=−∫λdt $$\ln N(t) = -\lambda t + C \quad (C \text{は積分定数})$$lnN(t)=−λt+C(Cは積分定数)

初期条件 $t = 0$t=0 で $N(0) = N_0$N(0)=N0​ を適用すると、$C = \ln N_0$C=lnN0​ となります。したがって、時刻 $t$t における原子核の数 $N(t)$N(t) は次のように表されます。

$$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$N(t)=N0​e−λt

半減期の定義と崩壊定数の関係

半減期 $T$T は、未崩壊の原子核の数が初期値の半分になる時間であるため、$N(T) = \frac{1}{2}N_0$N(T)=21​N0​ が成立します。これを上の式に代入します。

$$\frac{1}{2}N_0 = N_0 e^{-\lambda T}$$21​N0​=N0​e−λT

両辺を $N_0$N0​ で割ると、以下の関係が得られます。

$$e^{-\lambda T} = \frac{1}{2}$$e−λT=21​

両辺の自然対数をとります。

$$-\lambda T = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2)$$−λT=ln(21​)=−ln(2)

したがって、崩壊定数 $\lambda$λ と半減期 $T$T の積は以下のように求まります。

$$\lambda T = \ln(2)$$λT=ln(2)

問題式の $\lambda T = \ln(a)$λT=ln(a) と比較すると、$a = 2$a=2 となります。

最終的に入力すべき自然数は 2 です。