GWCA004 問題3

タイトル

振り子運動と台の可動による完全非弾性衝突

問題文

滑らかな水平床面上に質量 $M$M の台が置かれており、その上面には質量が無視できる長さ $L$L の軽くて伸びない糸が取り付けられている。糸の他端には質量 $m$m の小球 A が取り付けられており、小球 A は台とともに運動できる。台の上面における糸の固定点を点 O とする。

点 O から鉛直下向きに距離 $L$L だけ離れた位置は、小球 A の鉛直下方の最下点に対応する。この最下点において、台の上面には質量 $m$m の小物体 B が静止して置かれている。

最初、台を水平床面上に固定した状態で、糸をたるませずに水平位置（角度 $90^\circ$90∘）まで引き上げ、小球 A を静かに放した。小球 A は最下点に向かって円運動し、最下点に達した直前に、台の固定を解除して水平床面上を滑らかに運動できるようにした。小球 A は最下点において小物体 B と正面衝突し、直後に小球 A と小物体 B は一体となった。

衝突後、一体となった物体（質量 $2m$2m）は台の上を離れずに運動し、糸が鉛直線となす角が最大値 $\theta_{\text{max}}$θmax​ に達した。

水平床面および台の上面と小球 A、小物体 B との間の摩擦、ならびに空気抵抗はすべて無視できるものとする。また、重力加速度の大きさを $g$g とする。

$\cos\theta_{\text{max}}$cosθmax​ の値は既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ （$p, q$p,q は互いに素な自然数）で表される。$p+q$p+q の値を求めよ。

制約

• $m = 0.20 \text{ kg}$m=0.20 kg
• $M = 0.60 \text{ kg}$M=0.60 kg
• $L = 0.80 \text{ m}$L=0.80 m
• $g = 9.8 \text{ m/s}^2$g=9.8 m/s2

入力形式

$\cos\theta_{\text{max}}$cosθmax​ を既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ で表したときの分子と分母の和 $p+q$p+q の自然数値。

解説

1. 衝突直前の小球 A の速度

台が固定された状態で小球 A を水平位置から放し、最下点に達するまでの運動では力学的エネルギーが保存されます。最下点を位置エネルギーの基準（0）とすると、初位置の高さは $L$L です。最下点直前の小球 A の速度を $v_0$v0​ とすると、 $m g L = \frac{1}{2} m v_0^2$mgL=21​mv02​ $v_0 = \sqrt{2 g L}$v0​=2gL​ となります。このときの運動方向は水平右向きです。

2. 小物体 B との衝突直後の速度

最下点において小球 A（質量 $m$m）は静止している小物体 B（質量 $m$m）と完全非弾性衝突し、一体（質量 $2m$2m）となります。衝突の直前直後で台は静止しており、水平方向の力積のやり取りは小球 A と小物体 B の間でのみ生じるため、衝突直後の合体物体の水平速度を $v_1$v1​ とすると運動量保存則が成り立ちます。 $m v_0 = (m + m) v_1 = 2m v_1$mv0​=(m+m)v1​=2mv1​ $v_1 = \frac{1}{2} v_0 = \frac{1}{2} \sqrt{2 g L}$v1​=21​v0​=21​2gL​

3. 衝突後の運動と最大角 $\theta_{\text{max}}$θmax​

衝突直後（速度 $v_1$v1​）からは台（質量 $M$M）も水平床面上を自由に変運動できるようになります。 一体となった物体（質量 $2m$2m）が糸に引っ張られながら振り子運動を行う際、系全体（台＋合体物体）に働く水平方向の外力は存在しないため、水平方向の全運動量が保存されます。

糸が鉛直線となす角が最大値 $\theta_{\text{max}}$θmax​ に達した瞬間、台に対する合体物体の相対的な運動は一瞬停止します。すなわち、台と合体物体はともに同じ水平速度 $V$V で運動しています。

全運動量保存則より、 $2m v_1 = (M + 2m) V$2mv1​=(M+2m)V $V = \frac{2m}{M + 2m} v_1$V=M+2m2m​v1​

衝突直後から糸が最大角 $\theta_{\text{max}}$θmax​ に達するまでの間、非保存力は仕事をせず、張力は仕事をしないため、系全体の力学的エネルギーが保存されます。

最下点を高さの基準にとると、最大角 $\theta_{\text{max}}$θmax​ における合体物体の高さは $L(1 - \cos\theta_{\text{max}})$L(1−cosθmax​) です。 力学的エネルギー保存則より、 $\frac{1}{2} (2m) v_1^2 = \frac{1}{2} (M + 2m) V^2 + 2m g L (1 - \cos\theta_{\text{max}})$21​(2m)v12​=21​(M+2m)V2+2mgL(1−cosθmax​)

$V = \frac{2m}{M + 2m} v_1$V=M+2m2m​v1​ を代入して左辺と右辺の運動エネルギー項を整理します。 $m v_1^2 - \frac{1}{2} (M + 2m) \left( \frac{2m}{M + 2m} v_1 \right)^2 = 2m g L (1 - \cos\theta_{\text{max}})$mv12​−21​(M+2m)(M+2m2m​v1​)2=2mgL(1−cosθmax​) $m v_1^2 - \frac{2 m^2}{M + 2m} v_1^2 = 2m g L (1 - \cos\theta_{\text{max}})$mv12​−M+2m2m2​v12​=2mgL(1−cosθmax​) $m v_1^2 \left( 1 - \frac{2m}{M + 2m} \right) = 2m g L (1 - \cos\theta_{\text{max}})$mv12​(1−M+2m2m​)=2mgL(1−cosθmax​) $m v_1^2 \left( \frac{M}{M + 2m} \right) = 2m g L (1 - \cos\theta_{\text{max}})$mv12​(M+2mM​)=2mgL(1−cosθmax​) $v_1^2 \left( \frac{M}{M + 2m} \right) = 2 g L (1 - \cos\theta_{\text{max}})$v12​(M+2mM​)=2gL(1−cosθmax​)

ここで $v_1^2 = \frac{1}{4} v_0^2 = \frac{1}{4} (2 g L) = \frac{1}{2} g L$v12​=41​v02​=41​(2gL)=21​gL を代入します。 $\left( \frac{1}{2} g L \right) \left( \frac{M}{M + 2m} \right) = 2 g L (1 - \cos\theta_{\text{max}})$(21​gL)(M+2mM​)=2gL(1−cosθmax​)

両辺を $g L$gL で割ります。 $\frac{1}{2} \cdot \frac{M}{M + 2m} = 2 (1 - \cos\theta_{\text{max}})$21​⋅M+2mM​=2(1−cosθmax​) $1 - \cos\theta_{\text{max}} = \frac{M}{4(M + 2m)}$1−cosθmax​=4(M+2m)M​ $\cos\theta_{\text{max}} = 1 - \frac{M}{4(M + 2m)} = \frac{3M + 8m}{4(M + 2m)}$cosθmax​=1−4(M+2m)M​=4(M+2m)3M+8m​

4. 数値の代入と結果の導出

与えられた質量 $m = 0.20 \text{ kg}$m=0.20 kg, $M = 0.60 \text{ kg}$M=0.60 kg を代入します。 $3M + 8m = 3(0.60) + 8(0.20) = 1.80 + 1.60 = 3.40$3M+8m=3(0.60)+8(0.20)=1.80+1.60=3.40 $4(M + 2m) = 4(0.60 + 2 \times 0.20) = 4(0.60 + 0.40) = 4(1.00) = 4.00$4(M+2m)=4(0.60+2×0.20)=4(0.60+0.40)=4(1.00)=4.00

したがって、 $\cos\theta_{\text{max}} = \frac{3.40}{4.00} = \frac{34}{40} = \frac{17}{20}$cosθmax​=4.003.40​=4034​=2017​

分子 $p = 17$p=17、分母 $q = 20$q=20 は互いに素な自然数です。

求める値 $p + q$p+q は、 $p + q = 17 + 20 = 37$p+q=17+20=37

入力すべき自然数は 37 です。