GWCA004 問題1

解説

1. 斜面上の運動と水平面直前の速度

斜面はなめらかであるため、小物体 A がばねを伸ばした位置から水平面に達するまでの運動では、力学的エネルギーが保存されます。

ばねの自然長の位置（水平面との接続点）を重力による位置エネルギーの基準とし、ばねの弾性エネルギーを含めた全力学的エネルギーを考えます。

最初にばねを $L$L だけ伸ばして放した直後の全力学的エネルギー $E_1$E1​ は、静止しているため運動エネルギーは 0 であり、位置エネルギーと弾性エネルギーの和となります。斜面接続点を基準（0）とすると、初位置の高さは $L \sin\theta$Lsinθ となるので、 $E_1 = m g L \sin\theta + \frac{1}{2} k L^2$E1​=mgLsinθ+21​kL2 です。

小物体 A が水平面に達した直前の速度を $v_1$v1​ とすると、この点ではばねの伸びが 0 であり、高さも 0 であるため、力学的エネルギー $E_2$E2​ は運動エネルギーのみになります。 $E_2 = \frac{1}{2} m v_1^2$E2​=21​mv12​

力学的エネルギー保存則 $E_1 = E_2$E1​=E2​ より、 $\frac{1}{2} m v_1^2 = m g L \sin\theta + \frac{1}{2} k L^2$21​mv12​=mgLsinθ+21​kL2 $v_1^2 = 2 g L \sin\theta + \frac{k}{m} L^2$v12​=2gLsinθ+mk​L2

与えられた値を代入します。 $\sin 30^\circ = 0.5$sin30∘=0.5 $v_1^2 = 2 \times 9.8 \times 0.50 \times 0.5 + \frac{40}{0.20} \times (0.50)^2 = 4.9 + 200 \times 0.25 = 4.9 + 50 = 54.9 \text{ m}^2/\text{s}^2$v12​=2×9.8×0.50×0.5+0.2040​×(0.50)2=4.9+200×0.25=4.9+50=54.9 m2/s2

2. 水平面上の運動と衝突直前の速度

小物体 A は粗い水平面上を距離 $d$d だけ進みます。この間に受ける動摩擦力は $\mu_A m g$μA​mg です。 衝突直前の小物体 A の速度を $v_2$v2​ とすると、仕事と運動エネルギーの関係より、 $\frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2 = - \mu_A m g d$21​mv22​−21​mv12​=−μA​mgd $v_2^2 = v_1^2 - 2 \mu_A g d$v22​=v12​−2μA​gd

値を代入すると、 $v_2^2 = 54.9 - 2 \times 0.25 \times 9.8 \times 0.60 = 54.9 - 2.94 = 51.96 \text{ m}^2/\text{s}^2$v22​=54.9−2×0.25×9.8×0.60=54.9−2.94=51.96 m2/s2

3. 小物体 B との完全非弾性衝突

点 P で静止している小物体 B（質量 $M$M）に小物体 A（質量 $m$m）が衝突し、一体となります。衝突の極めて短い時間においては外力（動摩擦力）の力積は無視できるため、運動量保存則が成り立ちます。 一体となった直後の速度を $V$V とすると、 $m v_2 = (m + M) V$mv2​=(m+M)V $V = \frac{m}{m + M} v_2$V=m+Mm​v2​

両辺を 2 乗すると、 $V^2 = \left(\frac{m}{m + M}\right)^2 v_2^2$V2=(m+Mm​)2v22​

値を代入すると、 $\frac{m}{m + M} = \frac{0.20}{0.20 + 0.30} = \frac{2}{5}$m+Mm​=0.20+0.300.20​=52​ $V^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 \times 51.96 = \frac{4}{25} \times 51.96 = \frac{207.84}{25} \text{ m}^2/\text{s}^2$V2=(52​)2×51.96=254​×51.96=25207.84​ m2/s2

4. 衝突後の減速運動と停止距離

一体となった物体（質量 $m + M$m+M）に作用する動摩擦力は、小物体 A と小物体 B の両方の接触面から受ける抗力の和となり、$\mu_A = \mu_B = \mu = 0.25$μA​=μB​=μ=0.25 であるため、 $F_{\text{摩擦}} = \mu (m + M) g$F摩擦​=μ(m+M)g となります。

一体となった物体が距離 $x$x だけ進んで停止するまでの運動エネルギー変化と仕事の関係より、 $0 - \frac{1}{2} (m + M) V^2 = - \mu (m + M) g x$0−21​(m+M)V2=−μ(m+M)gx $x = \frac{V^2}{2 \mu g}$x=2μgV2​

$V^2$V2 の式を代入します。 $x = \frac{51.96 \times \frac{4}{25}}{2 \times 0.25 \times 9.8} = \frac{51.96 \times 4}{25 \times 4.9} = \frac{207.84}{122.5} = \frac{20784}{12250} = \frac{10392}{6125} \text{ m}$x=2×0.25×9.851.96×254​​=25×4.951.96×4​=122.5207.84​=1225020784​=612510392​ m

5. 比 $\frac{x}{L}$Lx​ の計算と分子分母の和

求める比 $\frac{x}{L}$Lx​ を計算します。$L = 0.50 = \frac{1}{2} \text{ m}$L=0.50=21​ m です。 $\frac{x}{L} = \frac{\frac{10392}{6125}}{\frac{1}{2}} = \frac{20784}{6125}$Lx​=21​612510392​​=612520784​

分母 $6125 = 5^3 \times 7^2$6125=53×72 であり、分子 $20784$20784 を 5 および 7 で割れるか確認します。

• $20784$20784 は 5 の倍数ではありません。
• $20784 \div 7 = 2969.14 \dots$20784÷7=2969.14… となり、7 の倍数でもありません。

したがって、$\frac{20784}{6125}$612520784​ は既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ です。 よって、$p = 20784, q = 6125$p=20784,q=6125 となります。

求める値 $p + q$p+q は、 $p + q = 20784 + 6125 = 26909$p+q=20784+6125=26909

入力すべき自然数は 26909 です。